U D 13 2 ESO 800 600 400

U. D. 13 * 2º ESO 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 x FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 13. 4 * 2º ESO 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 x OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • FUNCIÓN LINEAL • Si nos dicen que una función es lineal en un enunciado, que la gráfica de una recta pasa por el origen de coordenadas (0, 0), o que el punto (0, 0) forma parte de una tabla de valores de proporcionalidad directa: Tomamos un punto cualquiera de la Tabla o del Gráfico: A(x 1, y 1). m=y 1 / x 1 y=mx f(x) = m. x • • • FUNCIÓN AFÍN Si en un enunciado, en la gráfica, o en una tabla de valores, no nos dicen que es una función lineal, pero vemos o deducimos que su gráfica es una línea recta, entonces hallaremos la función afín: Tomamos dos puntos cualesquiera de la Tabla o del Gráfico: A(x 1, y 1), y B(x 2, y 2). m= (y 2 – y 1) / (x 2 – x 1) f(x) = m. x + n Tomamos un punto: A, B o cualquier otro conocido de la Gráfica o Tabla. y=mx + n y 1 = m. x 1 + n Y despejamos n de la ecuación resultante. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 3

PASO DE TABLA A EXPRESIÓN • • • EJEMPLO 1 Una función lineal pasa por el punto A(4, 5). Hallar su pendiente y su ecuación. m=y/x m= 5/4 = 1, 25 y=mx y = 1, 25 x • • EJEMPLO 2 Una recta para por el O(0, 0) y por el punto B(-2, 3). Hallar su ecuación. Al pasar por el origen es una función lineal. m=y/x m= 3/(-2) = -1, 5 y=mx y = -1, 5 x • • EJEMPLO 3 Al comprar 100 gr de mortadela nos han cobrado 2 €. ¿Es una función lineal? . ¿Por qué? . Hallar su pendiente y su ecuación. El precio de cada gramo es el mismo y suponemos no nos cobran el envoltorio, por lo cual deducimos que es una función lineal. Conocemos sólo un punto de la Tabla, el (100, 2), pero es suficiente. m=y/x m= 2/100 = 0, 02 y=mx y = 0, 02 x • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 4

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • Si la gráfica de una función es una línea recta, o la tabla de valores nos dicen que es de una función de proporcionalidad directa, podemos obtener la fórmula con sólo saber dos pares de valores o puntos de la gráfica. • Por ejemplo, al aumentar la cantidad de kilos de naranjas que compremos, la x, aumenta el gasto o dinero a pagar, la y. • • • Tomamos los puntos: A(3 , 6) y B (5, 10) Calculamos la pendiente, m: 10 – 6 4 m= ----- = 2 5– 3 2 • • • La fórmula será: y = m. x y = 2. x @ Angel Prieto Benito y = Gasto (en €) 10 8 6 4 0 1 2 3 4 Cantidad ( en kg ) Apuntes Matemáticas 2º ESO 5 x 5

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • Otro ejemplo, al aumentar la cantidad de bombones que compremos, la x, aumenta el gasto o dinero a pagar, la y. • • • Tomamos los puntos: A(2 , 0’ 6) y B (4, 1) Calculamos la pendiente, m: 1 – 0’ 6 0’ 4 m= ----- = 0’ 2 4– 2 2 • • 0, 8 La fórmula será: 0, 6 y = m. x y = 0’ 2. x 0, 4 Pero al comprobarlo, para x=2, el precio es de 0, 4 en lugar de 0’ 6. 0 1 2 3 4 Nos han cobrado el envoltorio (0’ 2 €). La fórmula será: Cantidad ( en kg ) y = 0’ 2. x + 0, 2 @ Angel Prieto Benito y = Gasto (en €) 1 Apuntes Matemáticas 2º ESO 5 x 6

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • Otro ejemplo de función es aplicar frío a un objeto durante unos minutos y medir la temperatura de dicho objeto. • • • Tomamos los puntos: A(3 , - 9) y B (4, -12) Calculamos la pendiente, m: -12 – (-9) -12+9 -3 m= ------- = ----- = - 3 4– 3 1 1 • • • La fórmula será: y = m. x y = - 3. x • • • 0 -3 0 1 2 3 4 5 -9 Al ser la pendiente negativa, al aumentar el valor de x disminuye el valor correspondiente de y. @ Angel Prieto Benito y = Temperatura (en ºC) -12 x = Tiempo ( en minutos) Apuntes Matemáticas 2º ESO 7

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • Un último ejemplo, al aumentar el tiempo de tener abierto un desagüe, disminuye la cantidad de agua que habrá en la bañera. • • • Tomamos los puntos: A(2 , 6) y B (4, 2) Calculamos la pendiente, m: 2– 6 – 4 m= ------ = – 2 4– 2 2 • • La fórmula será: y = m. x + n y = – 2. x + n Tomamos el punto A(2, 6) y sustituímos sus valores: 6 = – 2. 2 + n 6 = – 4 + n Despejamos n: 6 + 4 = n n = 10 La fórmula será: y = – 2. x + 10 @ Angel Prieto Benito y = Cantidad de agua (en m 3) 10 8 6 4 0 1 2 3 4 5 x = Tiempo ( en minutos) Apuntes Matemáticas 2º ESO 8

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • • • Una función afín viene dada por dos puntos: A=(3, 4), B=(5, -2) Obtener su expresión algébrica. • • • Resolución: Como y=mx+n Calculamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 – 2– 4 m = ----------- = - 6 / 2 = - 3 x 2 – x 1 5– 3 Tomando un punto, el A: 4 = m. 3 + n Sustituyo el valor de m: 4= – 3. 3+n 4 = – 9 + n 4+9 = n n = 13 Luego: f(x) = – 3. x + 13 Al ser m negativa la función es decreciente. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO Tabla de valores x 3 5 y 4 -2 Expresión f (x) = - 3. x + 13 9

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • • • Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la ecuación de dicha línea o función afín. Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: A=(-2, -6), B=(5, 1) Hallamos el valor de la pendiente: y 2 – y 1 1 – (– 6) m = ------------- = 7 / 7 = 1 x 2 – x 1 5 – ( -2) Como y=mx+n Tomando un punto, el B: 1 = m. 5 +n Sustituyendo: 1 = 1. 5+n • • • 1 = 5+n 1 – 5 = n n = – 4 Luego: f(x) = x – 4 Al ser m positiva la función es creciente. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1 -2 5 -6 Expresión f (x) = x – 4 10

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • APLICANDO SISTEMA DE ECUACIONES • • • Una función afín viene dada por dos puntos: A=(4, 3), B=(5, -7) en una gráfica o tabla. Obtener su expresión algébrica. • Resolución: • • • Como y=mx+n Tomando el punto A: Tomando el punto B: • • Sistema por Reducción (restando): 3 – (– 7) = 4 m – 5 m + n – n 10 = – m m = – 10 n = 3 – 4 m n = 3 – 4. (– 10) = 3 + 40 = 43 Luego: f(x) = – 10. x + 43 Al ser m negativa la función es decreciente. @ Angel Prieto Benito 3 =m. 4 +n -7=m. 5+n Apuntes Matemáticas 2º ESO Tabla de valores x 4 5 y 3 -7 Expresión f (x) = -10. x + 43 11

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA • APLICANDO SISTEMA DE ECUACIONES • Nos dan un gráfico de una línea recta nos y piden la ecuación de dicha línea o función afín. • Resolución: • • Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: A=(2, 7), B=(5, 21) • • • Como y=mx+n Tomando un punto, el A: 7 =m. 2 +n Tomando el otro, el B: 21=m. 5+n • • Por Reducción (restando): 21 – 7 = 5 m – 2 m + n – n 14 = 3 m m = 14 / 3 n = 7 – 2 m n = 7 – 2. 14/3 = – 7/3 Luego: f(x) = (14/3). x – 7/3 Al ser m positiva la función es creciente. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 21 7 2 5 Expresión f (x) = (14/3). x – 7/3 12