Trayectorias Derivada direccional y Regla de la cadena

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Trayectorias, Derivada direccional y Regla de la cadena 1 Prof. Leonardo Rodríguez Medina

Trayectorias, Derivada direccional y Regla de la cadena 1 Prof. Leonardo Rodríguez Medina

Trayectorias •

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Geométricamente, r'(t) es un vector tangente a C en P. • Por ejemplo, si

Geométricamente, r'(t) es un vector tangente a C en P. • Por ejemplo, si l ⊂ R 3 es la recta por P(x 0, y 0, z 0) || al vector de dirección u = (u 1, u 2, u 3), entonces una parametrización de l es x = x 0 + tu 1 y = y 0 + tu 2 z = z 0 + tu 3, t∈R o sea, r: R → R 3, r(t) = (x, y, z) cuya tiene imagen es precisamente l. Con esta parametrización P = r(0) pero se pueden elegir otras, usando por ejemplo 2 u o -u para el vector de dirección, o tal que P = r(1).

 • Además de la velocidad instantánea v(t) = r'(t), podemos interpretar otros conceptos

• Además de la velocidad instantánea v(t) = r'(t), podemos interpretar otros conceptos como i. v(t) = rapidez ( = ds/dt si s = longitud de arco). ii. a(t) = v’(t) = v'(t) = r''(t) = aceleración. iii. p(t) = mv(t) = momento. iv. F(t) = ma(t) =fuerza ( = p'(t) = 2° momento).

Ejercicios •

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Derivadas direccionales •

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Ejemplo •

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Regla de la cadena •

Regla de la cadena •

Ejemplo •

Ejemplo •

El gradiente • Si θ es el ángulo entre ∇f(x) y u, entonces Duf

El gradiente • Si θ es el ángulo entre ∇f(x) y u, entonces Duf (x) = |∇f (x)|cos θ el cual es máximo cuando cos θ = 1, es decir, cuando θ = 0 o bien, cuando u || ∇f (x) es el vector que apunta en la dirección de mayor crecimiento de f alrededor de x.