Thorme de Thals Lors dun voyage en Egypte

Théorème de Thalès

Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet (-624 ; -546) aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre. Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. » Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : « A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »

Objectifs: -Connaître et utiliser le théorème de Thalès. -Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Thalès.

I. Théorème de Thalès 1) Les configurations Situation 4ème Situation papillon

2) L’énoncé du théorème Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles Alors Voir une démonstration de ce théorème en cliquant sur ce lien: http: //www. mathkang. org/swf/thales 2. html Source: © 2003 ACL - les Éditions du Kangourou Remarque : Ce théorème permet, entre autre, de calculer des longueurs.

Exemple : E A Calculer BR et EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0, 01 centimètre près. (EA)//(PR)//(CD) EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. B 1 ) Comme P appartient à (BC), P C R R appartient à (BD) D (PR) et (CD) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a : BR = 5 x 4 ÷ 6 = (produit en croix) cm 3, 33 cm.

E A 2) Comme E appartient à (BD) A appartient à (BC) B (EA) et (CD) sont parallèles P C R D d’après le théorème de Thalès on a : EA = 6 x 2 ÷ 5 = 2, 4 cm. (produit en croix)

3) Application: partage d’un segment Un segment [AB] étant donné. Construire sans règle graduée le point M sur le segment [AB] tel que : Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

II. Réciproque du théorème de Thalès Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir l’utiliser. Remarque : Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

Exemples : 1) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? . . . A B On a 4, 5 3 C 4 P . 2 D et 2, 5 R . 1, 5 E donc De plus les points A, C et E sont alignés dans le même ordre ainsi que les points B, C et D d’après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (DE) sont parallèles.

2) Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ? B A On a 4, 5 et 3 C 4 P 2 2, 5 R donc 1, 5 E On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Thalès. D (PR) et (DE) ne sont pas parallèles.

Choisis ta configuration (clique sur l’exemple choisi) Exemple 1 Exemple 2 A D E M N F C B H G

Exemple 1 (souvenir de 4ème) A Sur la figure ci-contre on a : (MN) // (BC) AM = 2 cm AB = 9 cm AN = 5 cm BC = 12 cm Calculer AC puis MN. M N C B

1. J’observe la figure de l’exercice. La figure ressemble à une figure qui se prête à l’application du théorème de Thalès : Elle est composée de deux droites sécantes (en bleu) coupées par deux autres droites parallèles (en rouge). A M N C B

2. J’annote la figure avec les données du problème. Sur la figure ci-contre on a : (MN) // (BC) AM = 2 cm AB = 9 cm AN = 5 cm BC = 12 cm A 2 cm M N 5 cm 9 cm C B 12 cm

3. Je rédige la solution de l’exercice. A 2 cm M N 5 cm Calculons AC et MN 9 cm C B 12 cm Les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A. M (AB) et N (AC). De plus, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Alors, d’après le théorème de Thalès on a AM AN MN = = AB AC BC

A 2 cm M N 5 cm AM AN = AB AC 2 5 = 9 AC ? 9 cm C B AM AN MN = = AB AC BC 12 cm 2 × AC = 5 × 9 2 × AC = 45 45 AC = 22, 5 cm

A 2 cm N M AM MN = AB BC 2 MN = 9 12 5 cm 9 cm ? B AM AN MN = = AB AC BC C 12 cm 9 × MN = 2 × 12 9 × MN = 24 24 MN = 9 MN 2, 7 cm (c’est l’’arrondi au mm)

Exemple 2 (nouveauté de 3ème) Sur la figure ci-contre on a : (ED) // (HG) EF = 3 cm FH = 10 cm FG = 7, 5 cm ED = 4, 8 cm Calculer FD puis HG. D E F H G

1. J’observe la figure de l’exercice. La figure ressemble à une figure qui se prête à l’application du théorème de Thalès : deux droites sécantes (en bleu) coupées par deux autres droites parallèles (en rouge). D E F H G

2. J’annote la figure avec les données du problème. Sur la figure ci-contre on a : (ED) // (HG) EF = 3 cm FH = 10 cm FG = 7, 5 cm ED = 4, 8 cm E 4, 8 cm D 3 cm F 10 cm H 7, 5 cm G

3. Je rédige la solution de l’exercice E 4, 8 cm D 3 cm F 10 cm H 7, 5 cm G Les droites (FH) et (FG) sont sécantes en F. D (FH) et E (FG) De plus, les droites (ED) et (GH) sont parallèles. Alors, d’après le théorème de Thalès on a FD FE ED = = FH FG GH

E 4, 8 cm D 3 cm F 10 cm H 7, 5 cm G ? FD FE = FH FG FD 3 = 10 7, 5 × FD = 3 × 10 FD FE ED = = FH FG GH 7, 5 × FD = 30 30 FD = 7, 5 FD = 4 cm

E 4, 8 cm D 3 cm F 10 cm 7, 5 cm G H ED FE = GH FG 4, 8 3 = GH 7, 5 3 × GH = 4, 8 × 7, 5 ? FD FE ED = = FH FG GH 3 × GH = 36 36 GH = 3 GH = 12 cm