Szecian sumy i rnicy Suma i rnica szecianw

• Sześcian sumy i różnicy • Suma i różnica sześcianów

• Interpretacja geometryczna sześcianu sumy • Przykład • Ćwiczenia

Wzór na sześcian sumy ma ładną interpretację graficzną. Objętość sześcianu o krawędzi długości równej sumie długości odcinków o długościach a i b wyraża lewa strona wzoru: Zaznaczone płaszczyzny dzielą sześcian na: dwa sześciany o objętościach równych

trzy prostopadłościany o objętościach równych i trzy prostopadłościany o objętościach równych każdy: Suma tych objętości jest więc prawą stroną naszego wzoru na sześcian sumy:

Sześcian sumy liczb • (a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 na przykład: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 = = 1000000 + 300 + 1 = 1030301 • nie zachodzi równość: (a+b)3 = a 3 + b 3 na przykład 125 = (3+2)3 33 + 23 = 35 • uzasadnienie wzoru przez rachunek: (a + b)3 = (a + b) × (a + b) = mnożymy każdy wyraz przez każdy inny = (aa + ab + ba + bb) × (a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Sześcian różnicy liczb • (a - b)3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 ab 2 - b 3 na przykład: 993 = (100 -1)3 = 1003 - 3× 1002 + 3× 100 - 1 = = 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299

Oblicz sześciany sum i różnic ( x, y należy do zbioru liczb rzeczywistych) Rozwiązanie

Jeśli przemnożymy przez siebie sumę dwóch liczb rzeczywistych przez niepełny kwadrat różnicy takich samych liczb (bez liczby 2 we wzorze) to otrzymamy: Podobnie gdy przemnożymy przez siebie różnicę dwóch liczb rzeczywistych przez niepełny kwadrat sumy takich samych liczb (bez liczby 2 we wzorze) to otrzymamy: W ten oto sposób wyprowadziliśmy dwa zgrabne wzory na sumę i różnicę sześcianów dwóch liczb rzeczywistych: Przykłady Ćwiczenia

Suma sześcianów liczb a 3 + b 3 = (a + b)×(a 2 - ab + b 2) uzasadnienie wzoru przez rachunek (mnożymy każdy wyraz przez każdy inny): (a + b)×(a 2 - ab + b 2) = aa 2 - aab + ab 2 + ba 2 - bab + bb 2= a 3 - a 2 b + ab 2 + a 2 b - ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 Różnica sześcianów liczb a 3 - b 3 = (a - b)×(a 2 + ab + b 2) uzasadnienie wzoru przez rachunek (mnożymy każdy wyraz przez każdy inny): (a - b)×(a 2 + ab + b 2) = aa 2 + aab + ab 2 - bab - bb 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 - a 2 b - ab 2 - b 3 = a 3 - b 3

Przedstaw wyrażenie w postaci iloczynowej korzystając ze wzorów na sumę lub różnicę sześcianów: Rozwiązanie