Skaiiai Skaiius uraome skaitmen pavidalu Skaitmenys sutartiniai skaii

Skaičiai

Skaičius užrašome skaitmenų pavidalu. Skaitmenys – sutartiniai skaičių ženklai Seniausi žinomi – egiptiečių (~3000 pme), Babiloniečių (~2000 pme , 60 -tainė sistema) Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Arabiški Babiloniečių 343 = = 5*60 +4*10 + 3 = = CCC XL III Romėniški Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Skaičiavimo sistema – tai skaičių vaizdavimo būdas skaitmenimis. Visos žinomos skaičiavimo sistemos skirstomos į 2 grupes: nepozicinės skaičiavimo sistemos, pozicinės skaičiavimo sistemos. Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Nepozicinė skaičiavimo sistema - pradėta vartoti anksčiausiai. Remiantis archeologiniais radiniais, penkiatainė nepozicinė sistema jau buvo vartojama prieš 20. 000 metų — rastas kaulas, subraižytas skaičių grupėmis po penkis. Skaitmens (žymės) vieta šioje sistemoje neturi reikšmės, nes nuo to, kurioje vietoje yra skaitmuo, jo skaitinė reikšmė nekinta arba kitimas labai ribotas. Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Nepozicinė skaičiavimo sistema Skaitmens vieta šioje sistemoje (dalinai) neturi reikšmės, nes nuo to, kurioje vietoje jis yra, skaitinė reikšmė nekinta arba kitimas labai ribotas. Graikijoje VI apme atsirado antikinė numeracija 1 I 23 IIIII 4 IIII 5 1000 X 10000 M Mes geriau žinome romėniškus (etruskų) skaitmenis (V apme): 1 2 3 4 5 10 50 100 500 I IIIII IV V X L C D 1000 M Skaitmens vieta dalinai reikšminga: jei mažesnis skaitmuo eina prieš didesnį, jis atimamas, jei po - pridedamas. VIII, XIX, Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Pozicinėje skaičiavimo sistemoje skaičiaus vertė priklauso nuo skaitmens padėties skaičiuje. Pvz. turime skaičių 777. Matome, kad skaičių sudaro trys septynetai, tačiau kiekvieno iš jų vertė yra skirtinga: pirmas septynetas yra 10 kartų didesnis už antrą ir 100 kartų didesnis už trečią septynetą. Šį skaičių galima išskleisti taip: 777= 7*102 + 7* 101 + 7* 100 Arabiškieji skaitmenys – iš Indijos V a. Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Anot žymaus senovės Babilono matematikos tyrinėtojo O. Nuigebauerio, pozicinė skaičiavimo sistemos išradimas, be abejo, buvo vienas iš labiausiai vaisingų išradimų žmonijos istorijoje. Babiloniečių sistema galutinai susiformavo trečiosios Uro dinastijos metais (taip vadinami valdovai, padarę Uro miestą savo sostine XXI a. pr. m. e. ). Ji buvo artima dabar mūsų naudojamai pozicinei skaičiavimo sistemai, kur skaitmens vieta (pozicija) skaičiuje nusako jo eilę, pavyzdžiui, 13 ≠ 31, nes 13 = 1*101+3*100. Kitaip, negu senovės Egiptiečių, čia buvo naudojama šešiasdešimtainė skaičiavimo sistema, kartu prie jos pridedant žymiai senesnę dešimtainę sistemą. Pagrindine šios sistemos ypatybė – skaičiai mažesni už 60, būdavo užrašomi adityviai su dešimtainiu pagrindu. Skaičiai, didesni už 60, buvo pateikiami pozicinėje sistemoje, kurios pagrindas 60. Toks adityvinis – pozicinis skaičiaus išreiškimas vartotas išimtinai tik Mesopotamijos tautų. Yra dar vienas bruožas, skiriantis šią sistemą nuo senovės Egiptiečių, - skaičiui užrašyti buvo vartojamas tik vienas simbolis, kurio padėtis bei atitinkamos šių simbolių kombinacijos ir nusakydavo skaičiaus reikšmę. Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Babiloniečių Čia buvo naudojama šešiasdešimtainė skaičiavimo sistema, kartu prie jos pridedant žymiai senesnę dešimtainę sistemą. Pagrindine šios sistemos ypatybė – skaičiai mažesni už 60, būdavo užrašomi adityviai su dešimtainiu pagrindu. Skaičiai, didesni už 60, buvo pateikiami pozicinėje sistemoje, kurios pagrindas 60. Yra dar vienas bruožas, skiriantis šią sistemą, - skaičiui užrašyti buvo vartojamas tik vienas simbolis, kurio padėtis bei atitinkamos šių simbolių kombinacijos ir nusakydavo skaičiaus reikšmę. Visi skaičiai nuo 1 iki 9 žymimi vertikaliu danteliu. Skaičius 10 užrašomas horizontaliu danteliu. Paskui visi skaičiai iki 59 būdavo užrašomi horizontalių ir vertikalių dantelių pagalba. Skaičius 60 vėl būdavo žymimas horizontaliu danteliu. 343 = = 5*60 +4*10 + 3 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Dvejetainiai, aštuntainiai, …skaičiai Taigi, pozicinėse skaičiavimo sistemose kiekvienas skaitmuo skaičiuje turi tam tikrą svorį. Todėl bet kokį sveikąjį skaičių A galime užrašyti: A = am-1. pm-1+am-2. pm-2 +… +a 2. p 2+a 1. p 1+a 0. p 0; A = am-1 am-2…a 2 a 1 a 0 Čia p – skaičiavimo sistemos pagrindas. Todėl, 184710 = 1 x 103+8 x 102+4 x 101+7 x 100 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Skaičiavimo sistemos: dėsningumai Imkime dešimtainį skaičių 125: 125= a 2 a 1 a 0 = a 2. 102+a 1. 101 +a 0. 100; Čia 10 – skaičiavimo sistemos pagrindas. Taigi, 1847 = 1 x 103+8 x 102+4 x 101+7 x 100 Taisyklė: koeficientų ai vertės nuo 0 iki p 1 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Dvejetainiai, aštuntainiai, …skaičiai Dar kartą pažiūrėkime į išraišką: A = am-1. pm-1+am-2. pm-2 +…+a 2. p 2+a 1. p 1+a 0. p 0; Jeigu šį skaičių padalinsime iš p (skaičiavimo sistemos pagrindo), gausime sveikąją dalį am-1. pm-2+am-2. pm-3 +…+a 2. p 1+a 1. p 0 ir liekaną a 0. Gautąją sveikąją dalį vėl padalinę iš p, gausime sveikąją dalį am-1. pm-3+am-2. pm-4 +…+a 2. p 0 ir liekaną a 1. Vadinasi, norėdami rasti skaičiaus A užrašą kurioje nors skaičiavimo sistemoje, turime nuosekliai dalyti A iš tos sistemos pagrindo ir fiksuoti gautąsias liekanas. A = am-1. pm-1+am-2. pm-2 +…+a 2. p 2+a 1. p 1+a 0. p 0+a-1. p-1+a-2 p-2…; 11011002 = 10810 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai sveikieji skaičiai 11011002 = ? 10 A = an-1 dn-1 + an-2 dn-2 + … + a 3 d 3 + a 2 d 2 + a 1 d 1 + a 0 d 0 1 1 0 02 n =6 5 4 3 2 1 0 11011002 = 26 + 25 + 23 + 22 = 64+32+8+4 = 108 11011002 = 1548 = 1 82 + 5 81 + 4 80 = 64+40+4 = = 108 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai sveikieji skaičiai 11011002 = ? 10 A = an-1 dn-1 + an-2 dn-2 + … + a 3 d 3 + a 2 d 2 + a 1 d 1 + a 0 d 0 A = d(an-1 dn-2 + an-2 dn-3 + … + a 3 d 2 + a 2 d 1 + a 1) + a 0 = = d(d(an-1 dn-3 + an-2 dn-4 + … + a 3 d 1 + a 2) + a 1) + a 0 = … = = d(d(d(…d(an-1 d + an-2) + … + a 3) + a 2) + a 1) + a 0 = = (((…((an-1 d + an-2)d + an-3)d + … + a 3)d + a 2)d + a 1)d + a 0 3 6 13 11011002 = (((((1 2+1) 2+0) 2+1) 2+0 27 =108 54 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai sveikieji skaičiai 10810 = ? 2 = ? 8 = ? 16 108 54 0 27 0 13 1 6 1 3 0 1 1 1 10810 = 11011002 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai sveikieji skaičiai 108 8 4 13 8 5 1 10810 = 154 8 10810 = 1 100 2 4 1 5 10810=110 1100 2=6 C 16 6 C 1001 = 9 1010 = A 1011 = B 1100 = C 1101 = D 1110 = E 1111 = F Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Dvejetainiai, aštuonetainiai, šešioliktainiai sveikieji skaičiai 10810 = ? 2 = ? 8 = ? 16 108 54 0 27 0 13 1 6 1 3 0 1 1 108 8 4 13 8 1010 = A 5 1 B 10810 = 11011002 10810 = 1 100 2 1111 = F C 10810 = 154 8 1101 = D 1001 = 9 1011 = 1100 = 1110 = E Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

X 0 1 0 0 0 1 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

+ 0 1 0 0 1 1 1 0 1) Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

13 5 1101 X 101 1101 0000 1 1 0 1 1000001 => 65 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Neigiamų skaičių kodavimas Neigiami sveikieji skaičiai gali būti pateikiami tokiais kodais: – tiesioginiu, – atvirkštiniu, – papildomuoju. Kodas Tiesioginis Atvirkštinis Papildomasis A≥ 0 0. A A<0 1. A+1 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Neigiami skaičiai? - => 1, 0 ? 13 -5 + (-)1 10 0 5 -13 1101 0010 1 0011 13 1101 0101 -5 (-)1 1010 (-)1 0010 10 0111 1 0 0 1000 1 0111 => -7 => +3 Inversija ? => +8 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Neigiami skaičiai? 1111 1110 1101. . 0011 0010 0001 0000 1111 Papildomas kodas? 1110 1101. Teig sk -1, inversija. 0011 -5 101 0101 -> 1011 0010 0001 -13 1101 -> 0011 0000 F E D - => 1, 0 ? . . 13 3 2 1 0 -5 1101 + (-)1 1011 1 0 1000 => +8 -1 -2 -3 -D -E -F -10 5 -13 0101 + (-)1 0011 1 1000 => -8 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Sveikieji skaičiai gali būti: – be ženklo: – su i 7 i 6 i 5 i 4 i 3 i 2 i 1 i 0 s i 6 i 5 i 4 i 3 i 2 i 1 i 0 ženklu: n Diapazonas: 8 16 32 Be ženklo min max 0 0 0 Su ženklu min max 255 -128 65536 -32768 232 -1 -231 127 32767 231 -1 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Neigiamų skaičių kodavimas Tegul skaičiui koduoti skirtos 8 skiltys. Pažiūrėkime, kaip tiesioginiu, atvirkštiniu ir papildomuoju kodais turi būti koduojami skaičiai +108 ir -108 (10810=11011002): Kodas Tiesioginis Atvirkštinis Papildomasis +108 0. 1101100 -108 1. 1101100 1. 0010011 1. 0010100 Papildomajame kode skilčių svorius galima interpretuoti taip: -128 64 32 Iš tikrųjų: -128 + 16 +4 = -108 16 8 4 2 1 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Realūs skaičiai 101, 01 Kablelis sk. viduryje – nepatogu skaičiuoti Sprendimas: – Fiksuoto kablelio skaičiai – Slankaus kablelio skaičiai Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Fiksuoto kablelio skaičiai įsivaizduojamas kablelis – prieš vyriausią skiltį arba po jauniausios skilties Jei +- : viena skiltis ženklui, t. y. rašomas tik ženklas ir mantisė, eilė – atskirai (fiksuota) Ž , 28 0 0 1 0 1 , 20 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Slankaus kablelio skaičiai aprašomi eilė ir mantisė (įskaitant ženklus) Ž 0 eilė 0 Ž 0 1 mantisė Mantisė visada normalizuojama, ty parenkama, kad visada būtų 1>q=>1/2. (taip, sutarus, kad mantisė visada normuota, galima sutaupyti dar vieną bitą =1) 101, 10011 + 1, 101 Atliekant veiksmus – denormalizuoti : suderinti eilę Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Fiksuoto kablelio skaičiai Slankaus kablelio skaičiai Privalumai ir trūkumai Atliekant veiksmus – denormalizuoti : suderinti eilę 101, 10011 + 1, 101 Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Integers are usually stored as sequences of bytes, so that the encoded value can be obtained by simple concatenation. The two most common of them are: – increasing numeric significance with increasing memory addresses or increasing time, known as little-endian, and 1 13 2 45 => 4513 – its opposite, most-significant byte first, called big-endian A 9 9 A Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

"Little Endian" means that the low-order byte of the number is stored in memory at the lowest address, and the high-order byte at the highest address. (The little end comes first. ) For example, a 4 byte Long. Int Byte 3 Byte 2 Byte 1 Byte 0 will be arranged in memory as follows: Base Address+0 Byte 0 Base Address+1 Byte 1 Base Address+2 Byte 2 Base Address+3 Byte 3 Intel processors (those used in PC's) use "Little Endian" byte order. "Big Endian" means that the high-order byte of the number is stored in memory at the lowest address, and the low-order byte at the highest address. (The big end comes first. ) Our Long. Int, would then be stored as: Base Address+0 Byte 3 Base Address+1 Byte 2 Base Address+2 Byte 1 Base Address+3 Byte 0 Motorola processors (those used in Mac's) use "Big Endian" byte order. Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Which is Better? Both formats have their advantages and disadvantages. In "Little Endian" form, assembly language instructions for picking up a 1, 2, 4, or longer byte number proceed in exactly the same way for all formats: first pick up the lowest order byte at offset 0. Also, because of the 1: 1 relationship between address offset and byte number (offset 0 is byte 0), multiple precision math routines are correspondingly easy to write. In "Big Endian" form, by having the high-order byte come first, you can always test whether the number is positive or negative by looking at the byte at offset zero. You don't have to know how long the number is, nor do you have to skip over any bytes to find the byte containing the sign information. The numbers are also stored in the order in which they are printed out, so binary to decimal routines are particularly efficient. Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Endianness is the ordering convention that two parties that wish to exchange information will use to send and receive this information when they need to cut the information down to pieces. Say Joe wants to send the word "SONAR" to his friend Moe across town. However, he can only attempt this using small cards that fit just three letters at a time. Since English uses big-endian order (for the most part), Joe will first send SON and then AR. Moe needs to be using the same convention as Joe when receiving this information such that when he receives the first part (SON) he knows that this is the beginning of the word, then when he receives the other part (AR) he knows that it goes at the right hand (or little) end. If Moe is unaware and assumes the inverse, he ends up with the word "ARSON" and confusion ensues. This same concept applies to computer applications which need to store all values into bytes (often breaking them apart and putting them back together). The application storing the values and that reading the values need to be the same in terms of endianness. Little-endian order is not unheard of in English. Outside the US, English uses the little-endian date format (DD/MM/YY). Examples of middle-endianness include the U. S. date format (MM/DD/YY) or U. S. street addresses of the form 123 Any St. , Suite 101, Yourtown, ST, USA. Lietuviškas datos formatas ? Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Well known processor architectures that use the little-endian format include x 86, 6502, Z 80, VAX, and, largely, PDP-11. Processors using big-endian format are generally Motorola processors such as the 6800 and 68000 and Power. PC (which includes Apple's Macintosh line prior to the Intel switch) and System/370. SPARC historically used big-endian, though version 9 is bi-endian. The PDP-10 also uses big-endian addressing for byte-oriented instructions. Network protocols are also generally in big-endian format: see endianness in networking. bi-endian, said of hardware, denotes the capability to compute or pass data in either of two different endian formats. Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Kilmė The term big-endian comes from Jonathan Swift's satirical novel Gulliver’s Travels, where tensions are described in Lilliput and Blefuscu: whereas royal edict in Lilliput requires cracking open one's soft-boiled egg at the small end, inhabitants of the rival kingdom of Blefuscu crack theirs at the big end (giving them the moniker Big-endians). [3] The terms little-endian and endianness have a similar intent. [4] Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

IT specialistai susigrums orientacinėse varžybose Vilniuje Visi Lietuvos informacinių technologijų specialistai kviečiami į sistemų administratorių turnyrą – 6 val. trukmės orientacinį žaidimą Vilniaus mieste „Sys. Admin 2011“, skirtą Baltnetos taurei laimėti. IT specialistų komandos varžysis spręsdamos aukštos kompetencijos reikalaujančias užduotis, jų ieškoti teks atlikinėti visoje Vilniaus miesto teritorijoje. Administratorių miesto turnyras „Sys. Admin 2011“ vyks spalio 6 dieną. Turnyro nugalėtojų komandai viena iš didžiausių Lietuvoje duomenų perdavimo ir IT paslaugų teikėja „Baltnetos komunikacijos“ įsteigė 1000 eurų vertės prizą. Taip pat dalyvių laukia ir renginio rėmėjų, IT sprendimus teikiančios kompanijos „DS Solutions“, bei pasaulinės saugumo sprendimų kūrėjos ESET siūlomų produktų platintojos „NOD Baltic“ įsteigti specialieji prizai. Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas

Užduotis: Prieš keliasdešimt metų vištų fermoje susiginčijo 2 adminai - Aras ir Rasa. Kuriais metais pirmą kartą buvo aprašytas panašus konfliktas? Sprendimas: Perskaitę užduotį, galime pastebėti porą dalykų: 1. Pagrindinė nurodytos fermos produkcija yra kiaušiniai 2. Adminų vardai susideda iš tų pačių, tačiau skirtingai išdėstytų raidžių. Nueiname į Google ir įvedame klausimą, paremtą mūsų pastebėjimais, tarkime: "egg conflict computer ". Jau pirmame dokumente randame, kad tikrai buvo toks konfliktas tarp Little Endian bei Big Endian kompiuterių, o jo pavadinimas kilo iš Jonathan Swift knygoje "Guliverio kelionės" aprašyto liliputų konflikto - anie pešėsi, kurį kiaušinio galą: buką ar smailą reikia Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas daužti. Taigi, atsakymas - tai knygos išleidimo metai - 1762 m.

Informacijos tipai kompiuteriuose minėjome, kad n skilčių dvejetainis žodis kompiuteryje atitinka tokius informacijos tipus: – – – duomenis (skaičius, dvejetainius vektorius ar simbolius), komandas, atminties ląstelių arba įvesties ir išvesties įtaisų adresus. Šiuolaikiniuose kompiuteriuose galima sutikti ir kitokius informacijos tipus: – – – Žymes – tegus (tags) – bitų grupes, kurios nurodo palydimos informacijos tipą; informacijos vienetų deskriptorius; informacijos vienetų identifikatorius (vardus). Vilniaus universitetas, Fizikos fakultetas