Ricerca azione promossa dallOPPI Metodi per lo studio

Ricerca azione promossa dall'OPPI “Metodi per lo studio dei frattali” alunni della classe IIB a. s 2004 -2005 I. C. “G. Rodari” Baranzate (MI) Insegnante Susanna Abbati

• in natura esistono forme irregolari, che non possono essere studiate con la geometria euclidea nasce così la geometria frattale • scienza che si occupa dei frattali ossia di figure geometriche si ripetono sino all’infinito su scala sempre più ridotta. • è stato Mandelbrot matematico francese a creare nel 1975 il termine frattale dal latino fractus (irregolare frastagliato) classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

caratteristiche • sono autosimili il piccolo riproduce il grande • si ottengono per iterazione • hanno dimensione frazionaria classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

Con il software Cabrì II plus abbiamo costruito i seguenti frattali • Triangolo di Sierpinski • Albero di Pitagora • Curva o merletto di Kock • Fiocco di neve Abbiamo calcolato la dimensione frattale con Excel classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

• prende nome dal matematico polacco Waclaw Sierpinski che ne ha studiato la costruzione attorno al 1915 • uno dei primi oggetti frattali della storia della matematica • caratteristica fondamentale delle figure frattali è l'autosimilarità • la figura si ottiene rimuovendo sempre il triangolo centrale • ogni triangolino che si ottiene ad un dato passo della costruzione è rimpicciolito di un fattore omotetico 2, rispetto triangolo al passo precedente classe IIB I. C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati a. s. 2004/05

PERIMETRO TRIANGOLO SIERPINSKI passo figura N triangoli misura lato perimetro 0 1= 30 1 3 x 1=3 1 3= 31 1/2= 2 9= 32 3 n 3 x 3 x 1/2= 32 /2 x 1/3 = 3/2 1/4 = 1/22 32 x 3 x 1/4= 33 /22 x 2/32= 3/2 27= 33 1/8 = 1/23 33 x 3 x 1/8= 34/23 x 22 /33 = 3/2 3 n 1/2 n classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05 1/2 rapporto perimetro rispetto al precedente 3 nx 3 x 1/2 n= 3 n+1 x 1/2 n 3/2

AREA TRIANGOLO SIERPINSKI passo figura Rapporto area rispetto alla precedente 0 1 1 3/4 2 9/16 = 32 /42 x 4/3= 3 27/64= 33 /43 x 42/32= 3/4 n 3 n /4 n classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05 Area 3/4 3/4

CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO Ad ogni passo • il numero dei triangoli triplica • la misura dei lati dimezza • il perimetro aumenta secondo un fattore costante 3/2 • l’area diminuisce secondo un fattore costante 3/4 CARATTERISTICHE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI • perimetro infinito • area nulla • dimensione frattale 1, 585 (calcolata con Excel) classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

passo figura N quadrati misura lato perimetro 0 2=2 1 2 x 4 x 1 1 4=22 1/1, 414 4 x 4 1/1, 414 2 8=23 1/2 8 x 4 x 1/2 Rapporto perimetro rispetto al precedente 1, 414= 2 2 n …=2 n+1 classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05 2

Poiché il triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato, di cui l’ ipotenusa ne è la diagonale, per calcolare il lato dei quadrati, che a ogni iterazione diventano diagonale, abbiamo applicato la formula l=d/1, 414 avendo posto uguale a 1 il lato del primo quadrato costruito sui cateti classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

passo figura 0 Area 2 2 1 2 2 n 2 classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05 L’area non cambia perché a ogni passo, secondo il teorema di Pitagora, sommando l’ area dei quadrati sui cateti del triangolo rettangolo isoscele si ottiene l’area del quadrato sull’ ipotenusa.

CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO Ad ogni passo • il numero dei quadrati raddoppia • il perimetro aumenta secondo un fattore costante 1, 414 • l’area resta costante CARATTERISTICHE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI • perimetro infinito • area costante classe IIB I. C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati a. s. 2004/05

ALBERO DI PITAGORA CON ANGOLI DI 30° e 60° classe IIB I. C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati a. s. 2004/05

MERLETTO DI KOCK Il nome deriva dal matematico svedese Helge Von Koch che nel 1904 studiò tale curva COSTRUZIONE • dividere in tre parti uguali il segmento • eliminare il segmento centrale costruendo su di esso un triangolo equilatero classe IIB I. C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati a. s. 2004/05

PERIMETRO TRIANGOLO MERLETTO DI KOCK passo figura N lati misura lato perimetro 0 1 1 3 1 4=22 1/3 4 x 1/3 4/3 2 16=24 1/32 16 x 1/32 4/3 n …=22 n 1/3 n 22 n x 1/3 n 4/3 classe IIB I. C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati a. s. 2004/05 Rapporto perimetro rispetto al precedente

CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO Ad ogni passo • il numero dei lati quadruplica • la misura dei lati diventa 1/3 della misura del lato precedente • il perimetro aumenta secondo un fattore costante 4/3 Dimensione frattale log 4/log 3=1, 262 classe IIB I. C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati a. s. 2004/05

PERIMETRO FIOCCO DI NEVE passo figura N lati misura lato perimetro 0 3 1 12=22 x 3 1/3 12 x 1/3 4/3 2 48=24 x 3 1/32 48 x 1/32 4/3 n …=22 nx 3 1/3 n 22 nx 3 x 1/3 n 4/3 classe IIB I. C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati a. s. 2004/05 Rapporto perimetro rispetto al precedente

CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO Il fiocco di neve si ottiene applicando al triangolo equilatero la stessa iterazione del merletto di Kock quindi si mantengono le stesse caratteristiche ma il FIOCCO DI NEVE NON E’ AUTOSIMILE classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

Rotazione del triangolo di Sierpinski classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

Rotazione di 60°del triangolo di Sierpinski con centro di rotazione su un vertice classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

Anche noi abbiamo utilizzato la struttura ricorsiva per creare con compasso china acquarelli matite colorate tavole da disegno seguendo le indicazioni fornite dall’insegnante di educazione artistica • composizione con ritmo radiale uniforme alternato su struttura circolare • composizione paesaggio con cinque piani spaziali (minimo) classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

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Anche nel corpo umano si possono ritrovare strutture riconducibili ai frattali arterie e vene coronariche tipico esempio di frattali applicati nello studio di strutture fisiologiche. Calco di bronchi vasi sanguigni del cuore presentano ramificazioni di tipo frattale. I neuroni hanno una struttura simile ai frattali classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05

SITOGRAFIA http: //www. galileimirandola. it http: //www. frattali. it classe IIB I. C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati 2004/05