PROPRIETATILE DETERMINANTILOR CUPRINS Proprietatea 1 Proprietatea 2 Concluzii

PROPRIETATILE DETERMINANTILOR CUPRINS Proprietatea 1 Proprietatea 2 Concluzii Proprietatea 3 Aplicatie practica Proprietatea 4 Proprietatea 5 Proprietatea 6 Proprietatea 7 Proprietatea 8 Proprietatea 9 Test Rezolvare test

Competenţe specifice vizate: C 3. 1 Aplicarea proprietăţilor în probleme de calcul C 3. 2 Rezolvarea unor ecuaţii utilizând algoritmii de calcul PROF. BLAGA CORNELIA

PROPRIETATEA 1 Determinantul matricei pătratice A este egal cu determinantul matricei transpuse ; n Obs. Acesta proprietate ne arata ca orice proprietate valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.

EXEMPLU

PROPRIETATEA 2 Dacă matricea A are două linii(coloane) egale, atunci determinantul ei este egal cu zero;

exemplu L 1 = L 3 C 1=C 2

PROPRIETATEA 3 Dacă matricea B se obţine din matricea A permutand două linii (coloane), atunci det B=- det A;

EXEMPLU In matricea B am schimbat liniile 1 si 2 din matricea A. det. A = -19 Det B=19

PROPRIETATEA 4 • Dacă toate elementele unei linii (coloane) ale unei matrice se înmulţesc cu un număr a, atunci se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu produsul dintre a şi determinantul matricei;

EXEMPLU Inmultim elementele liniei 2 cu nr. 4 obtinem matricea : Det B = -76 = 4(-19) = 4 det A

OBSERVATIE • ESTE O PROPRIETATE IMPORTANTA PENTRU CA NE PERMITE SA SCOATEM FACTOR COMUN DE PE LINII SI/SAU COLOANE ASTFEL INCAT DETERMINANTUL CARE RAMANE ESTE MAI USOR DE CALCULAT.

exemplu

PROPRIETATEA 5 • Dacă toate elementele unei linii (coloane) dintr-o matrice pătratică sînt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;

EXEMPLU

PROPRIETATEA 6 • Dacă o matrice conţine două linii (coloane) proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;

exemplu Observam ca liniile 1 si 2 sunt proportionale pentru ca elementele liniei 2 se obtin din elementele liniei 1 prin inmultire cu 3 L 2= 3 L 1

PROPRIETATEA 7 • Dacă o linie (coloana) a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două linii (coloane), atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;

EXEMPLU Observam ca elementele liniei 2 se obtin prin adunarea elementelor liniei 1 cu elementele liniei 3 inmultite cu 2. deci linia 2 este o combinatie liniare a liniilor 1 si 3. L 2=L 1+2 L 3 Det A =0

Proprietatea 8 • Daca elementele unei linii (coloane)se pot scrie ca suma de doi termeni atunci determinantul matricei de poate scrie ca suma de doi determinanti in care elementele liniilor(coloanelor) sunt aceleasi cu exceptia liniei (coloanei) scrisa ca suma.

exemplu

PROPRIETATEA 9 • Dacă la elementele unei linii (coloane) a matricei A adunăm elementele altei linii(coloane) înmulţite cu unul şi acelaşi număr a, atunci se obţine o matrice, al cărei determinant este egal cu determinantul matricei A;

concluzii • CAND UN DETERMINANT ESTE ZERO?

n. Dacă matricea A are două linii(coloane) egale, atunci determinantul ei este egal cu zero; Dacă toate elementele unei linii(coloane) dintr-o matrice pătratică sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero; Dacă o linie(coloana) a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două linii(coloane), atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero; Dacă o matrice conţine două linii(coloane) proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;

Aplicatie practica

Test 1. Daca o linie a unui determinant este inmultita cu 2 determinantul se modifica ? 2. Daca la coloana a doua adaug prima coloana obtin un determinant mai mare decat primul ? 3. La linia a doua a unui determinant scad prima linie inmultita cu doi. Ce se intampla ? 4. Fie determinantul sau cu el va fi egal cu explicaţi răspunsul ales. 5. Daca inversez liniile cu coloanele intr-un determinant atunci se obtine un determinant nul?

Test 6. Daca toate elementele unui determinant sunt pozitive determinantul este pozitiv? 7. Un determinant este nul daca toate elementele sale sunt nule? 8. Daca o linie este egala cu o coloana determinantul este nul? 9. Daca o coloana a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte coloane atunci determinantul este egal cu ? 10. Exista proprietati valabile doar pentru linii sau pentru coloane? 11. Se poate calcula determinantul unei matrici de doua linii si trei coloane? 12. Daca inmultesc cu zero o linie si o adun la alta se obtine un determinant nul?

Test 13. Care este mai mare: - determinantul care elementele de pe doua linii egale cu 10 sau altul care elementele de pe ultimele doua coloane egale cu 100? 14. Este corect urmatorul calcul ? 15. Este corect urmatorul calcul ? 16. Motivati de ce determinantul calcule. este egal cu 0, fara a face I 7. Daca Det(A) > Det(B) atunci Det(A*B) > Det(A) * Det(B) ?

Test 18. Fie . a) Ce proprietati au fost aplicate? b) Sunt corect aplicate? c) Unde este greseala? 19. Daca schimb doua linii intre ele determinantul obtinut este opusul determinantului initial. 20. Cand inmultim un determinant cu un numar vom inmulti toate elementele determinntului cu acel numar ?

Rezolvare test 1. Da 2. Nu 3. Se obtine acelasi determinant. 4. Corect este al doilea calcul. 5. Nu 6. Nu 7. Nu 8. Nu 9. Nu 10. Proprietatile sunt valabile atat pentru linii cat si pentru coloane.

Rezolvare test 11. Determinantul se calculeaza numai pentru matrici patratice. 12. Nu 13. Ambii determinanti sunt nuli. 14. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o coloana. 15. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o coloana. 16. Da deoarece una din linii este combinatie liniara a celorlalte doua. 17. Nu 18. a) Proprietatile 2, 9. b) Nu c) Ultimul determinant este nul datorita proprietatii 2 deci rezultatul este 0. 19. Da 20. Nu