POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN
POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pertemuan Ke 10 : Kongruensi Sifat. Oleh : Dr. Kusnandi, dan M. Sifat Dasarnya
POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Tujuan Mahasiswa dapat memahami konsep kongruensi dan Pembelajaran sifat-sifat dasarnya menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan
POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pengertian Kongruensi Menurut Gauss, “ Jika suatu bilangan n mengukur perbedaan antara dua bilangan a dan b, maka a dan b dikatakan kongruen terhadap n”. Pengertian mengukur dalam pernyataan itu maksudnya adalah bahwa panjang (modulus) n dapat membagi habis perbedaan antara kedua bilangan itu. Definisi: Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, dinotasikan dengan a ≡ b (mod n) jika n | (a – b) Contoh 1: 3 ≡ 24 (mod 7), – 31 ≡ 11 (mod 7) – 15 ≡ – 64 (mod 7) SELESAI Contoh 2: 25 ≡/ 12 (mod 7)
POKOK BAHASAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pengertian Kongruensi Berikan contoh kongruensi dalam kehidupan sehari-hari ! Di dalam kongruensi TUJUAN a ≡ b (mod n) Berapakah nilai n yang menarik untuk dibicarakan ? MATERI Berdasarkan definisi a ≡ b (mod n) bagaiamanakah hubungan bilangan a, b dan n dengan pembagi, hasil bagi dan sisa ? ILUSTRASI Kita mengetahui bahwa – 33 ≡ 9 (mod 7) LATIHAN – 33 ≡– 12 (mod 7) – 33 ≡ 2 (mod 7) Manakah yang merupakan sisa pembagian dari -33 dengan 7 ? Salah satu masalah yang akan diselesaikan terkait kongruensi adalah SELESAI tentukan sisa pembagian 532012 dibagi dengan 7
POKOK BAHASAN TUJUAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Sifat-Sifat Dasar Kongruensi Misalkan a, b, c, d, dan n > 1 adalah bilangan bulat (1) a ≡ a (mod n) (2) a ≡ b (mod n) b ≡ a (mod n) MATERI (3) a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n) a ≡ c (mod n) (4) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n) a + c ≡ b + d (mod n) ILLUSTRASI a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n) ac ≡ bd (mod n) (5) a ≡ b (mod n) a + c ≡ (b + c) mod n dan ac ≡ bc (mod n) LATIHAN SELESAI (6) a ≡ b (mod n) ak ≡ bk (mod n) untuk k N
POKOK BAHASAN TUJUAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Illustrasi 1 : Tentukan sisa pembagian bilangan 532012 dibagi dengan 7. Pembahasan Kita akan mencari bilangan bulat a dengan 0 a < 7 sehingga 532012 ≡ a (mod 7) MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI Perhatikan 53 ≡ 4 (mod 7) 533 ≡ 43 (mod 7) 533 ≡ 1 (mod 7) (533)670 ≡ 1670 (mod 7) 532010 ≡ 1 (mod 7) 532010. 532 ≡ 1. 532 (mod 7) 532012 ≡ 2 (mod 7) Ini artinya 532012 dibagi 7 sisanya adalah 2
POKOK BAHASAN TUJUAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Illustrasi 2 : Gunakan kongruensi untuk membuktikan bahwa 7 | 52 n + 3. 25 n-2 Pembahasan Kita akan membuktikan bahwa 52 n + 3. 25 n-2 ≡ 0 (mod 7) Perhatikan MATERI 52 ≡ 4 (mod 7) 52 n ≡ 4 n (mod 7) Sedangkan ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI (1) 25 ≡ 4 (mod 7) 25(n – 1) ≡ 4(n – 1) (mod 7) 25(n – 1). 23 ≡ 4(n – 1). 23 (mod 7) 25 n – 2 ≡ 4(n – 1) (mod 7) 3. 25 n – 2 ≡ 3. 4(n – 1) (mod 7) (2) Dari (1) dan (2) : 52 n + 3. 25 n-2 ≡ 4 n + 3. 4 n-1 (mod 7) 52 n + 3. 25 n-2 ≡ 4. 4 n-1 + 3. 4 n-1 (mod 7) 52 n + 3. 25 n-2 ≡ 7. 4 n-1 (mod 7) 52 n + 3. 25 n-2 ≡ 0 (mod 7) Ini artinya 7 | 52 n + 3. 25 n-2
POKOK BAHASAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (1) 1. Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini: a. Jika a ≡ b (mod n) dan m | n, maka a ≡ b (mod m) TUJUAN b. Jika a ≡ b (mod n) dan c > 0 maka ca ≡ cb (mod n) c. Jika a ≡ b (mod n) dan bilangan bulat a, b, n semuanya dapat dibagi MATERI dengan d > 0 maka a/d ≡ b/d (mod n/d) 2. Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa a 2 ≡ b 2 (mod n) tida perlu ILLUSTRASI LATIHAN mengakibatkan bahwa a ≡ b (mod n) 3. Jika a ≡ b (mod n), buktikan bahwa fpb(a, n) = fpb(b, n) 4. Carilah sisanya apabila 250 dan 4165 dibagi dengan 7 5. Carilah sisa pembagian bilangan dibagi dengan 7. 6. Berapakah sisanya apabila jumlah dari bilangan-bilangan SELESAI 15 + 25 + 35 +. . . + 995 + 1005 dibagi dengan 4.
POKOK BAHASAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (2) 7. Buktikan bahwa 53103 + 10353 dapat dibagi dengan 39, dan bahwa 111333 + 333111 dapat dibagi dengan 7. TUJUAN 8. Untuk n > 1 , gunakan teori kongruensi untuk memeriksa pernyataan pembagian di bawah ini MATERI ILLUSTRASI a. 13 | 3 n+2 + 42 n+1 b. 27 | 25 n+1 + 5 n+2 c. 43 | 6 n+2 + 72 n+1 9. Gunakan teori kongruensi untuk memerika bahwa 89| 244 – 1 LATIHAN dan 97 | 248 – 1 10. Buktikan bahwa apabila ab ≡ cd (mod n) dan b ≡ d (mod n) dengan fpb(b, n) = 1, maka a ≡ c (mod n). SELESAI 11. Jika a ≡ b (mod n 1) dan a ≡ c (mod n 2), buktikan bahwa b ≡ c (mod n) di mana bilangan bulat n = fpb(n 1, n 2)
POKOK BAHASAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI Terima kasih
- Slides: 11