POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pertemuan Ke 13 : Oleh : Dr. Kusnandi, M. Si. Kongruensi Linear

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Tujuan Mahasiswa dapat menyelesaikan kongruensi linear satu Pembelajaran atau lebih variabel.

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear Persamaan linear satu variabel yang paling sederhana : ax = b Kongruensi linear satu variabel yang paling sederhana : ax ≡ b (mod n) Solusi dari kongruensi linear adalah bilangan bulat xo yang memenuhi ax 0 ≡ b (mod n) Apakah setiap kongruensi linear memiliki solusi ? LATIHAN SELESAI Carilah solusi dari kongruensi linear : 3 x ≡ 5 (mod 9) dan 5 x ≡ 3 (mod 9)

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI 3 ILLUSTRASI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear Syarat agar kongruensi linear ax ≡ b (mod n) memiliki solusi adalah fpb(a, n) | b Perhatikan kongruensi linear : 3 x ≡ 9 (mod 12) Bilangan bulat x = 3 dan x = -9 memenuhi kongruensi linear itu. Apakah kedua bilangan itu menyatakan dua solusi yang berbeda ? Metode menyelesaikan kongruensi linear LATIHAN SELESAI A. Metode Kenselisasi Contoh 1: Carilah solusi dari kongruensi linear : 9 x ≡ 12 (mod 15)

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI 3 ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear Pembahasan 9 x ≡ 12 (mod 15) 3. 3 x ≡ 3. 4 (mod 15) 3 x ≡ 4 (mod 5) 3 x ≡ 9 (mod 5) x ≡ 3 (mod 5) Di dalam modulo 15, solusi yang tidak saling kongruen dari x ≡ 3 (mod 5) adalah 3, 8, dan 13 Jadi, solusi dari kongruensi linear 9 x ≡ 12 (mod 15) adalah x ≡ 3 (mod 15) , x ≡ 8 (mod 15) dan x ≡ 13 (mod 15)

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear B. Metode Invers Kita mengetahui bahwa invers (perkalian) dari bilangan a adalah bilangan b sehingga ab = 1 Definisi: Di dalam kongruensi, invers dari bilangan a modulo n dengan fpb(a, n) = 1 adalah solusi dari kongruensi ax ≡ 1 (mod n) 3 ILLUSTRASI Contoh : Carilah semua invers dari bilangan 7 modulo 31. Jawab: LATIHAN Perhatikan kongruensi 7 x ≡ 1 (mod 31) 7 x ≡ 63 (mod 31) SELESAI x ≡ 9 (mod 31) Jadi, invers dari 7 modulo 31 adalah {. . . , -53, -22, 9, 40, 71, . . . }

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear B. Metode Invers Contoh 2 : Carilah solusi dari kongruensi linear 7 x ≡ 22 (mod 31) Jawab: Kalikan kedua ruas dengan invers dari 7 modulo 31, yaitu 9 3 ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI 9. 7 x ≡ 9. 22 (mod 31) x ≡ 198 (mod 31) x ≡ 12 (mod 31)

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear Illustrasi 1: Tentukan semua solusi dari kongruensi linear Pembahasan: 2 x – 5 y ≡ 4 (mod 6) Gunakan metode penyelesaian kongruensi linear satu variabel 2 x ≡ 5 y + 4 (mod 6) Tetapkan nilai y = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (i) Untuk y = 0 diperoleh : 2 x ≡ 4 (mod 6) ILLUSTRASI Solusinya adalah (x, y) (2, 0) (mod 6), (5, 0) mod 6). (ii) Untuk y = 1, 3, 5 kongruensi itu tidak memiliki solusi. LATIHAN (iii) Untuk y = 2 diperoleh : 2 x ≡ 14 (mod 6) Solusinya adalah (1, 2) (mod 6), (4, 2) mod 6). SELESAI (iv) Untuk y = 4 diperoleh : 2 x ≡ 24 (mod 6) Solusinya adalah (x, y) (0, 4) (mod 6), (3, 4) mod 6).

POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi Linear Illustrasi 1: Tentukan semua solusi dari kongruensi linear Pembahasan: 2 x – 5 y ≡ 4 (mod 6) Gunakan metode penyelesaian kongruensi linear satu variabel 2 x ≡ 5 y + 4 (mod 6) Tetapkan nilai y = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (i) Untuk y = 0 diperoleh : 2 x ≡ 4 (mod 6) ILLUSTRASI Solusinya adalah (2, 0) (mod 6), (5, 0) mod 6). (ii) Untuk y = 1, 3, 5 kongruensi itu tidak memiliki solusi. LATIHAN (iii) Untuk y = 2 diperoleh : 2 x ≡ 14 (mod 6) Solusinya adalah (1, 2) (mod 6), (4, 2) mod 6). SELESAI (iv) Untuk y = 4 diperoleh : 2 x ≡ 24 (mod 6) Solusinya adalah (0, 4) (mod 6), (3, 4) mod 6).

POKOK BAHASAN TUJUAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Latihan (1) 1. Carilah semua solusi yang tidak saling kongruen dari kongruensi linear di bawah ini dengan menggunakan metode kanselisasi a. 9 x ≡ 21 (mod 30) c. 12 x ≡ 16 (mod 32) b. 34 x ≡ 60 (mod 98) d. 140 x ≡ 133 (mod 301) 2. Carilah invers modulo 13 dari masing-masing bilangan bulat di bawah ini MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI a. 2 b. 3 c. 5 d. 11 3. Carilah solusi dari kongruensi linear di bawah ini dengan menggunakan metode invers a. 25 x ≡ 15 (mod 29) c. 17 x ≡ 14 (mod 21) b. 5 x ≡ 2 (mod 26) d. 9 x ≡ 5 (mod 25) 4. Misalkan p adalah invers dari a modulo n, dan q adalah invers dari b modulo n. Tunjukkan bahwa pq adalah invers dari ab modulo n. 5. Carilah semua solusi dari kongruensi linear dalam dua variable di bawah ini a. b. c. d. 2 x + 3 y ≡ 4 (mod 7) 4 x + 2 y ≡ 6 (mod 8) 3 x + 6 y ≡ 2 (mod 9) 8 x + 2 y ≡ 4 (mod 10)

POKOK BAHASAN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI Terima kasih