Penerapan Transformasi Laplace pada penyelesaian Persamaan Diferensial orde
- Slides: 7
. Penerapan Transformasi Laplace pada penyelesaian Persamaan Diferensial orde satu simultan Misalkan diketahui persamaan diferensial simultan berikut : dengan syarat Y(0)= b 1 dan X(0) = b 2 Persamaan diferensial parsial simultan tersebut dapat juga diselesaikan dengan menggunakan transformasi laplace. Cara Menyelesaikan persamaan diferensial simultan sbb: -Ditransformasikan laplace kedua ruas pada persamaan diferensial sehingga diperoleh persamaan aljabar dalam fungsi f(s) -Kemudian dicari x(s) dan y(s) dalam bentuk fungsi dalam s -Dicari invers transformasi laplace pada kedua ruas pada x(s) dan y(s) sehingga diperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial simultan dan persamaan diferensial orde dua yaitu : x dan y.
. Contoh-contoh : 1. Selesaikan persamaan diferensial berikut : dengan syarat X(0) = 8 dan Y(0) = 3 Jawab: Diambil transformasi Laplace pada kedua persamaan diferensial : diperoleh : . s x(s) – X(0) = 2 x(s) – 3 y(s) s x(s) -8 = 2 x(s) – 3 y(s). s y(s) – Y(0) = y(s)- 2 x(s) s y(s) – 3 = y(s) – 2 x(s) ( s-2 ) x(s) + 3 y(s) = 8 2 x(s) + (s-1) y(s) = 3 Dengan metode cramer diperoleh :
. Diambil invers transformasi Laplace pada kedua persamaan x(s) dan y(s): L-1{x(s)} = L-1{ Kesamaan : 8 s – 17 = A ( s+1) + B (s-4) Untuk s = 4 15 = 5 A +0 A = 3 Untuk s = -1 -25 = 0+ B(-5) B = 5 Sehingga : L-1{x(s)} = L-1{ } x = 3 e 4 t + 5 e-t /// }
. L-1{y(s)} = L-1{ } Kesamaan : 3 s – 22 = A ( s+1) + B (s-4) Untuk s = 4 -10 = 5 A +0 A = -2 Untuk s = -1 -25 = 0+ B(-5) B = 5 Sehingga : L-1{y(s)} = L-1{ } = -2 L-1{ } . y = -2 e 4 t + 5 e-t /// Jadi penyelesaian persamaan diferensial simultan yaitu : . x = 3 e 4 t + 5 e-t ///. y = -2 e 4 t + 5 e-t ///
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut : dengan syarat Z(0) = 0 dan Y(0) = 1 Jawab: Diperoleh : s y(s) – Y(o) + z(s) =. s z(s) – Z(0) – y(s) = 0. s y(s) – 1 + z(s) =. s z(s) – 0 – y(s) = 0. s y(s) + z(s) = - y(s) +. s z(s) = 0 +1
Dengan metode crammer diperoleh : Diambil invers transformasi laplace pada kedua ruas : L-1{y(s)} = L-1{ } L-1{z(s)} = L-1{ } Jadi penyelesaian persamaan diferensial : . y = 1. z = t. ///
TUGAS Tentukan penyelesaian persamaan diferensial simultan dengan menggunakan transformasi Laplace : 1. dengan syarat X(0) = 0 dan Y(0) = -3 2. dengan syarat X(0) = 0 dan Y(0) = 2 3. dengan syarat X(0) = 0 dan Y(0) = 0 4. 5. dengan syarat X(0) = 0 dan Y(0) = 0
