MATERI Persamaan Diferensial Sederhana MATERI PEMBAHASAN Persamaan diferensial
MATERI : Persamaan Diferensial Sederhana
MATERI PEMBAHASAN : Persamaan diferensial PD dengan variabel terpisah, PD homogen, PD eksak, PD linier, Penyelesaian persamaan diferensial.
“ PERSAMAAN DIFERENSIAL 3
Pengertian 4 Suatu persamaan yang menyatakan hubungan antara fungsi x dengan satu atau lebih turunan-turunannya disebut persamaan diferensial. Contoh: Orde dari suatu PD adalah orde dari turunan tertinggi yang muncul dalam PD tersebut. Derajat dari suatu PD adalah pangkat dari turunan tertinggi pada PD tersebut.
Pengertian 5 Contoh:
SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL Untuk mencari solusi dari PD, harus mencari fungsi yang memenuhi persamaan itu, artinya yang memuat persaman itu menjadi benar. Hal ini berarti harus mengolah persamaan tersebut sehingga semua koefisien differensial hilang, yang ada hanya hubungan antara variabel x dan y saja, yaitu : F(x, y)=0
“ JENIS PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA 7
“ PD dengan variabel terpisah, PD homogen, PD eksak, PD linier 8
“ PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN ORDE TERPISAH 9
JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS Bentuk umum : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 1. PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0 • • Solusi umum PD : • contoh : (x+1) dx + (y 2 – 3) dy = 0
1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f 1(x) g 1(y) dx + f 2(x) g 2(y) dy = 0 direduksi dengan mengalikan : PD diatas menjadi : karena telah menjadi PD variabel terpisah, maka solusi PD diatas :
“ PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN 12
3. PD Homogen Suatu fungsi f(x, y) dikatakan homogen berderajat n , jika : f(λx, λy) = λn f(x, y) PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 Dikatakan PD Homogen derajat n jika : M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen yang berderajat sama. Untuk mencari solusi dari PD homogen kita lakukan transformasi : y = vx dan dy = v dx + x dv dengan transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam x dan v dengan variabel terpisah.
Contoh : 1. subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv, sehingga diperoleh :
“ PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK 15
4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Suatu PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dikatakan PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x, y) sehingga : d. F = M(x, y) dx + N(x, y) dy ……. (1) Rumus differensial : Maka dari (1) dan (2) diperoleh :
Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak adalah : Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui persamaan (3) atau persamaan (4). Dari persamaan (3) Untuk mencari c(y) turunkan F(x, y) terhadap y
Dari persamaan (4) Untuk mencari c(x) turunkan F(x, y) terhadap x
Contoh : 1. (x 2 – y) dx – x dy = 0 Untuk mencari c(x) turunkan F(x, y) terhadap x Jadi,
5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x, y) sedemikian sehingga PD : I(x, y) { M(x, y) dx + N(x, y) dy } = 0 merupakan PD eksak, maka fungsi I(x, y) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut. Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain : 1. Jika maka suatu fungsi dari x saja, adalah faktor integrasi dari PD tsb.
2. Jika maka suatu fungsi dari y saja adalah faktor integrasi dari PD tsb. 3. Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 merupakan PD Homogen dan x. M + y. N ≠ 0 , maka , adalah faktor integrasi dari PD tsb. 4. Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dapat ditulis dlm bentuk : y f(x, y) dx + x g(x, y) = 0 , dimana f(x, y) ≠ g(x, y) , maka dari PD tersebut. adalah faktor integrasi
“ PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER 22
6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA Bentuk umum : Persamaan ini mempunyai faktor integrasi : Solusi umum dari PD ini adalah :
Contoh : 1. P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e 2 x Faktor Integrasi : I= maka solusinya : Jadi ,
25 Thanks! Any questions?
- Slides: 25