Olika stt att se p ekvationssystem L 1

Olika sätt att se på ekvationssystem L. 1. 4 Det vanliga. Som en linjärkombo av kolonnvektorer där det gäller att bestämma vikterna Som en matrisekvation där det gäller att bestämma kolonnvektorn

Multiplikation av matris med vektor L. 1. 4 Matrismultiplikation när matrisen är en radvektor. Det vanliga sättet att multiplicera en matris med en vektor är att göra det radvis. Matrisen består här av m rader.

Beskrivning av lösningsmängd till ett homogent ekvationssystem L. 1. 5 (1/4) Ekvationen är homogen: När gäller också att Ekvationen har alltid den triviala lösningen . Andra lösningar är icke-triviala. Ekvationen då har systemet har en icke-trivial lösning precis när har en kolonn som inte är pivot-kolonn: minst en fri variabel. Detta är ett operativt kriterium! Exempel Bestäm så att har en icke-trivial lösning när Det finns en icke-trivial lösning precis när

Beskrivning av lösningsmängd till ett homogent ekvationssystem L. 1. 5 (2/4) Exempel Bestäm alla lösningar till Lösningsmängden är . när och

Beskrivning av lösningsmängd till ett homogent ekvationssystem L. 1. 5 (3/4) När där är på (R)TF löser du ekvationen med bakåtsubstitution. Lösningarna blir då alla linjärkombinationer av vissa lösningar där de fria variablerna agerar vikter. Du har då fått ett sätt att beskriva alla lösningar som linjära höljet till dessa lösningar (som är vektorer). Exempel Lös när Metod för lösning av 1. Reducera till på (R)TF med radoperationer. 2. Lös med bakåtsubsitution. 3. Uttryck som en linjärkombination av vektorer med fria variabler som vikter. 4. Lösningsmängden är då där p är antalet fria variabler.

Beskrivning av lösningsmängd till ett homogent ekvationssystem L. 1. 5 (4/4) Metod Direkt bestämning av vektorer som spänner ut lösningsmängden till 1. Reducera till på reducerad trappstegsform med radoperationer. 2. Skriv rader ovanför med -1 för én av de kolonner som inte är pivotkolonner (de fria variablerna) och 0 för övriga sådana. 3. Fyll de tomma platserna på den nya raden i tur och ordning med det som står i kolonnen under -1. 4. Gör detta för varje kolonn som inte är pivotkolonn. 5. De radvektorer du då får är transponat till vektorer som spänner lösningsmängden. Lösningsmängden till är

Beskrivning av lösningsmängd till ett inhomogent ekvationssystem L. 1. 5 (1/2) Ekvationen där är inhomogen: summan av två lösningar är inte längre en lösning Men säg att du hittat en lösning dvs (så att ). För en annan lösning gäller då att löser den homogena ekvationen Om du låter lösningar till beteckna den "allmänna" lösningen (kan innehålla parametrar) till den får du att alla ges av Detta är innehållet i Sats 6 i boken

Beskrivning av lösningsmängd till ett inhomogent ekvationssystem L. 1. 5 (2/2) I praktiken löser du inte ekvationen där enligt Sats 6. Du kör radoperationer direkt på systemets UKM. Exempel Lös ekvationen där och < < < <

Ett exempel från ekonomi L. 1. 6 En del av en ekonomi består av tre sektorer A, B och C som producerar som de (bland annat) handlar sinsemellan. Du vill bestämma pris på den del av A: s, B: s och C: s produktion som handlas internt (endogent) så att ingen av sektorerna gör vinst/förlust på den endogena handeln. Intäkter = Kostnader