Numbriline integreerimine MonteCarlo meetodil Kordamine Lihtne MonteCarlo meetod

(Numbriline) integreerimine Monte-Carlo meetodil Kordamine.

Lihtne Monte-Carlo meetod Tihedusfunktsioon: f(x)≥ 0 iga x korral;

Lihtne Monte-Carlo meetod g(x) f(x)

Lihtne Monte-Carlo meetod X ~ N(0, 1)

Lihtne Monte-Carlo meetod Sammud: X ~ N(0, 1) 1. Genereeri x 1, x 2, . . . , xn ~ N(0, 1) 2. (üldjuhul: x 1, x 2, . . . , xn ~ f(x)) 3. Arvuta g 1 = g(x 1), . . . , gn = g(xn), 4. Hinda integraali väärtust 5. I≈g

Lihtne Monte-Carlo meetod g(x) f(x)

Lihtne Monte-Carlo meetod n = 100000 x = rnorm(n) gx = x / (1/sqrt(2*pi)*exp(-x**2/2))*(x>=1 & x<3) I_hinnang = mean(gx) Hinnang: 4, 07 UI: ( 3, 92. . . 4, 22 ) n = 100000 x = runif(n, 1, 3) gx = 2*x I_hinnang = mean(gx) Tegelik: 4 Hinnang: 4, 00. . UI: ( 3, 99. . . 4, 01 )

Täpsuse hinnang • Hinnangu dispersioon D(I_hinnang) = D(g(X)) / n • Hinnangu standardviga σ(I_hinnang) = σ(g(X)) / sqrt(n) • Standardvea hinnang s(I_hinnang) = s(g(X)) / sqrt(n) Genereeritud Xide arv

Usaldusintervall Integraali tegelikule väärtusele • Usaldusintervall integraali tegelikule väärtusele = usaldusintervall keskväärtusele: I_hinnang +/- zα/2 s(I_hinnang)

Mitmekordne integraal

Meenutus. . . n = 100000 x = rnorm(n) gx = x / (1/sqrt(2*pi)*exp(-x**2/2))*(x>=1 & x<3) I_hinnang = mean(gx) Hinnang: 4, 07 UI: ( 3, 92. . . 4, 22 ) n = 100000 x = runif(n, 1, 3) gx = 2*x I_hinnang = mean(gx) Tegelik: 4 Hinnang: 4, 00. . UI: ( 3, 99. . . 4, 01 )

Näide

Näide 4π

1000 genereeritud juhuslikku arvu U(0, 2π): I 1: 12. 51 (12, 26. . . 12, 76) I 2: 12. 52 (12, 47. . 12, 58) I 2 hinnang: 4π + g 2(x) D(g 1) = 15, 9 D(g 2) = 0, 7

Peaosa eraldamise meetod Sammud: 1. Genereeri x 1, x 2, . . . , xn ~ f(x) 2. Arvuta g 1(x 1), . . . , g 1(xn), 3. Hinda integraali väärtust 4. I ≈ I 0 + g 1(xi)

Funktsiooni sümmetriseerimine Muutuja vahetus integreerimisel:

Funktsiooni sümmetriseerimine

Funktsiooni sümmetriseerimine Dg(x) = 470 Dg(x) = 39