MC Integreerimine III Mitmekordne integraal ja kvaasijuhuslikud suurused

MC Integreerimine III Mitmekordne integraal ja kvaasi-juhuslikud suurused

Soovime leida integrali I väärtust: Näiteks: Soovime arvutada 0 -2 a. Eesti laste keskmist pikkust. Miks läheb selleks vaja mitmekordset integrali?

Laste pikkus. Tinglik tihedus f(pikkus|vanus)

Keskmine pikkus f(pikkus|vanus) suhteliselt püsiv ajas (võime kasutada ka mõne aasta vanust uuringut) f(vanus) on ajas üsnagi muutuv (Eestis), aga värsked andmed kergesti kättesaadavad (Eesti Statistikaameti kodulehelt)

Monte-Carlo meetod mitmeseks integreerimiseks 1. Genereeri x 1, . . , xk tihedusest f(x 1, . . . , xk) 2. Leia gi = g( x 1, . . . , xk ) 3. Korda samme 1. -2. palju kordi (100000) 4. Hinda integrali väärtust suuruste gi keskmise abil

Pikkuste näide, jätk 1. Genereeri laste vanused (kasutades statistikaameti kodulehel olevat vanusejaotust) 2. Genereeri laste pikkused tihedusest f(pikkus|vanus) 3. Leia funktsiooni g(pikkus, vanus) = pikkus väärtused 4. Hinda integraali väärtus genereeritud pikkuste keskmise abil.

Monte-Carlo meetodi mõttetusest? Kui integreerime näiteks ristkülikuvalemit kasutades Siis milline tuleb integreerimisviga?

Koguviga≤M/N Monte Carlo meetod: viga~1/sqrt(N)

Veel • Näiteks kui integreeritaval funktsioonil eksisteerib 2. tuletis ja 2. tuletis on pidev, siis näiteks trapetsivalemi viga on suurusjärgus c/N 2 ehk lähendusviga on O(N-2). • Mitmekordsete integraalide korral trapetsivalemi lähendusviga O(N-2/d) • Monte-Carlo meetodi lähendusviga (kas ühekordne või mitmekordne integral, vahet pole): O(N-1/2) Seega tavaline Monte-Carlo meetod töötab (enamasti) trapetsimeetodist efektiivsemalt kui d>4.

Kvaasi-Monte-Carlo meetod ja kvaasi-juhuslikud suurused • Kvaasi-juhuslikud suurused ei üritagi olla juhuslikud. Nad valitakse enamasti põhimõttel, et valimi jaotusfunktsioon tuleks võimalikult lähedane soovitavale üldkogumi jaotusfunktsioonile. • Näiteks 9 kvaasi-juhuslikku suurust ühtlasest jaotusest võiksid välja näha järgmised: 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9

van der Corput’i kvaasi-juhuslikud arvud Vali arvusüsteem, näiteks kahendsüsteem. Pane kirja järjestikused arvud: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, . . . Pane arvu sappa koma ja loe tagurpidi: 0. 1, 0. 01, 0. 11, 0. 001, 0. 101, 0. 011, 0. 111. . Ehk kümnendsüsteemis: ½, ¼, ¾, 1/8, ½+1/8, ¼+1/8, ½+1/4+1/8, . . .

Mitmemõõtmeline üldistus (Haltoni kvaasi-juhuslikud arvud) Vali algarvulised arvusüsteemi alused (baas 1=2, baas 2=3, baas 3=5, . . . ). Igat arvusüsteemi kasutades leia soovitud arv (n) van der Corput’i kvaasi-juhuslikku suurust Tulemuseks ongi mitmemõõtmelise ühtlase jaotusega Haltoni kvaasi-juhuslikud suurused.

Haltoni kvaasi-juhuslikud suurused ja pseudojuhuslikud suurused

Kvaasi-juhuslike suuruste eelis integreerimisel • Kvaasi-juhuslike suuruste kasutamisel on võimalik integrali lähendusvea koondumiskiirus viia suurusjärku (log. N)d/N Näiteks van der Corput’i kvaasi-juhuslikke suuruseid kasutades saavutamegi maksimaalse võimaliku koondumiskiiruse log N / N

Funktsiooni maksimiseerimine

Teine katse. . .

Simulated annealing