MYSTRIEUSE GRAVITATION Paul GUERRINI 27 01 2016 La

MYSTÉRIEUSE GRAVITATION Paul GUERRINI 27 – 01 – 2016

La pensée d’Aristote ● Mouvement naturel : Objets lourds vers le bas Objets légers vers le haut. ● Mouvement violent : Contraire à la nature de l’objet. Il se produit si une force agit pour le créer et le maintenir. 385 − 322 ■ Un monde sublunaire constitué des quatre éléments, AIR – TERRE – FEU – EAU. Les objets ont la propriété d’être lourd ou léger suivant leurs proportions en ces 4 éléments. ► Les objets lourds tombent plus vite que les objets légers. ■ Un monde supralunaire, comprenant la Lune, les planètes fixées sur des sphères concentriques et transparentes tournant autour de la Terre. Au-delà des planètes, la sphère des étoiles fixes et encore au-delà, le ‘’premier mobile’’, qui met tout le système en mouvement. ■ Le temps est quelque chose qui naît avec l’Univers. Par contre pour Platon (428 – 348), le temps est un aspect transcendant de la réalité, sans début ni fin concevables. ► Chez les grecs il n’y a pas de vérification expérimentale systématique des théories. Pour accéder à la vérité, le discours philosophique suffit.

Les nouveautés astronomiques posent d’une manière neuve la question du mouvement. GALILÉE 1564 – 1642 ► Un objet lourd et un objet léger, lâchés d’une certaine hauteur, arrivent au sol en même temps. ● La chute libre et le roulement le long d’un plan incliné sont des exemples de mouvements uniformément accélérés. ● Le long d’un plan incliné, la vitesse finale de l’objet est la même pour tous les angles d’inclinaison, si le point de départ est situé à la même hauteur. ● L’espace parcouru par un corps en chute libre est proportionnel au carré du temps mis à le parcourir.

ISAAC NEWTON 1642 – 1727 Frontispice des Principia − 1687. L T

La loi de la Gravitation Universelle : 1687 m F F m’ D D’où provient cette « attraction à distance » qu’exerce les corps matériels ? À cette question Newton ne répond pas ! « Je ne me sers du mot d’attraction que pour exprimer un effet que j’ai découvert dans la nature, effet certain et indiscutable d’un principe inconnu, qualité inhérente dans la matière dont de plus habiles que moi trouveront, s’ils le peuvent, la cause » ( Voltaire, faisant parler Newton dans les ‘’Lettres philosophiques’’ )

G = 6, 67 10− 11 m 3 kg− 1 s− 2 Pourquoi ces unités ? Nous savons qu’en physique classique, une loi exprime une relation entre quantités qui on le même « contenu dimensionnel » . ● La force F peut s’écrire m a où ML / T 2 ● mm’ / D 2 peut s’écrire M 2 / L 2 ML / T 2 n’est pas égal à M 2 / L 2 ! Pour annuler ce déséquilibre Newton, sans l’expliquer, donne à la constante G un contenu dimensionnel étrange, égal à : L 3 / MT 2 Si l’on introduit G dans le second terme de l’équation ML / T 2 = L 3 / MT 2. M 2 / L 2 ML / T 2 = LM / T 2 Expérience d’Henry Cavendish (1798)

Une contradiction dans le système de Newton La force de gravitation est instantanée, bien qu’agissant à distance ! ► Le principe de causalité différentielle (Rien n’est sans cause) fondement même des lois du mouvement, est donc violé par la loi de la gravitation. 1850 : Michael Faraday va résoudre cette contradiction en élaborant le concept de champ. Pour lui, ‘’un champ d’interaction’’ préexiste potentiellement dans tout l’espace environnant une masse. Une deuxième masse introduite dans cette portion d’espace servira de révélateur de l’interaction. 1873 : Avec Maxwell, la réalité physique elle-même doit être représentée par des champs continus qu’il n’est pas possible d’interpréter de façon mécaniste. ■ Les champs obéissent à des équations différentielles dites ‘’aux dérivées partielles’’. ■ Les lois du mouvement de Newton sont sous forme d’équations différentielles totales !

La relativité générale : 1915 La théorie d’EINSTEIN va nous enseigner que la notion de force peut n’être rien de plus qu’un anthropomorphisme commode ! Deux idées originales sont à l’origine de la théorie de la R. G. ● La recherche de la covariance généralisée (indépendance de la formulation des lois physiques par rapport au mouvement du référentiel) a conduit Einstein au « principe d’équivalence » . ● L’hypothèse (inspirée de Mach) que la géométrie de représentation de l’espace physique dépend de son contenu. ► L’une impliquant l’autre, c’est la convergence des deux qui constitue la matrice de la théorie. Remarque : Le principe de Mach signifie que l’espace physique n’existe que si il contient de la matière-énergie.

► Le principe d’équivalence

Conséquences du principe d’équivalence Un laboratoire en chute libre sur un astre très massif Dans le référentiel du laboratoire, la lumière se propage en ligne droite (1). Dans le référentiel de l’astre, la lumière « tombe » . (2) Question : est-ce que c (célérité de la lumière) reste invariante dans (1) et dans (2) ? Logiquement NON ! Pour Einstein OUI ! Ce qui varie c’est la métrique d’espace-temps.

La plateforme d’Einstein Soit K’ un disque animé d’un mouvement de rotation uniforme par rapport à K, (référentiel inertiel). L’observateur K’ interprète la force F qui agit sur lui comme l’effet d’un champ de gravitation. L’observateur K l’interprète comme l’effet de l’inertie ! K K’ ● F

Le formalisme de la relativité générale L’équation de Poisson Tenseur de Ricci − Einstein Denis Poisson 1781 – 1840 Grégorio Ricci 1854 – 1925 L’équation générale du champ de gravitation Les indices μ et ν valent pour les 4 coordonnées de l’espace-temps, de sorte que chaque tenseur est un tableau 4 x 4 de seize nombres : μ et ν sont symétriques, ce qui signifie qu’ils ne varient pas lorsqu'on les intervertit, et cela réduit la liste à 10 nombres distincts. L’équation générale regroupe donc en réalité 10 équations aux dérivées partielles.

Le tenseur énergie-impulsion En relativité générale, la cause de la gravitation est l’énergie-impulsion sous toutes ses formes (matière et rayonnement). Cette extraordinaire grandeur physique va s’écrire sous la forme d’un tenseur métrique à deux indices : Masses et rayonnements joueront un rôle gravitationnel actif et passif. Énergie Impulsion

Métrique d’un espace courbe L’introduction des espaces courbes implique une nouvelle généralisation de la forme de l’élément de métrique. Au lieu d’utiliser un système d’axes orthogonaux, nous allons choisir des axes faisant entre eux un angle et des unités quelconques sur ces axes. B. Riemann 1826 – 1866 La métrique de Minkowski de la relativité restreinte ds 2 = + dx 2 + dy 2 + dz 2 − c 2 dt 2 sera remplacée par une nouvelle relation générale entre les côtés d’un triangle quelconque La métrique d’espace-temps de la relativité générale De façon la plus générale, la métrique d’un espace s’écrit : ds 2 = gμν dxμ dxν avec μ = 1, 2…. et ν = 1, 2 …. n C’est la forme condensée de : ds 2 = g 11 (dx 1)2 + g 12 (dx 1 dx 2) +…+ g 1 n (dx 1… dxn) +… gnn (dxn)2 Les caractères g 11, g 12 et g 22 vont varier de place en place et l’angle va varier aussi. La dimension du temps devra également être intégrée à la métrique. La forme générale de la métrique contiendra la somme de tous les produits des coordonnées, c’est-à-dire les termes : x 2, y 2, xy, t 2, xt, yt ; chacun de ces produits étant affecté d’un coefficient qui dépend lui-même des coordonnées.

C’est Karl Schwarzschild qui trouva, le premier, une des solutions de l’équation d’Einstein : la métrique de l’espacetemps vide autour d’une masse à symétrie sphérique statique. 1873 − 1916 Ainsi, au voisinage de la Terre le coefficient 2 m / r ≈ de 10− 8 ! C’est ce faible coefficient qui introduit la courbure de l’espace au voisinage de la Terre ! V > VL Vitesse de libération M R V < VL Rayon de Schwarzschild

La théorie MOND 1983 Mordechaï MILGROM ► La vitesse de rotation des étoiles au bord d’une galaxie est constante et ne dépend pas de la distance. La courbe de vitesse de la rotation est plate. ● Dans la théorie de Newton, la force d’attraction entre deux corps décroit comme 1/D 2 ● Dans la théorie de Milgrom, cela n’est vrai que jusqu’à un certain seuil ; au-delà, elle décroit comme 1/D. Mais la loi de Milgrom est empirique ; c’est une ‘’recette ad hoc’’ très controversée qui ne rentre pas dans le cadre des lois physiques les mieux établies.

La théorie Tenseur Vecteur Scalaire (Te. Ve. S) Pour que la théorie MOND soit crédible il faut modifier les équations de la relativité générale. En 2004, les théoriciens Jacob Bekenstein et Robert H. Sanders y sont parvenus ! Leur théorie (Te. Ve. S), conserve la métrique de l’espace-temps de la RG, mais elle y associe deux nouveaux champs, l’un scalaire, l’autre vectoriel. C’est une théorie relativiste décrivant la théorie MOND dans un Univers sans matière noire ! ► Les simulations indiquent que cette théorie reproduit toutes les observations astrophysiques relatives aux galaxies individuelles. ► La théorie rencontre toutefois ses limites à l’échelle des amas de galaxies.

THÉORÈME de NOETHER : 1916 Dans la formulation lagrangienne de la mécanique classique, le théorème d’Emmy Noether démontre la correspondance entre Principe de relativité, symétries et lois de conservation. Ce théorème s’applique aux systèmes physiques descriptibles par un lagrangien. 1882 – 1935 L. Lagrange 1736 – 1813 L = ½ mv 2 – mgh (Dans le cas du champs gravitationnel de la Terre) Lois de conservation Symétries ÉNERGIE Translation dans le temps Uniformité du temps Relativité des instants IMPULSION Translation dans l’espace Homogénéité de l’espace Relativité des positions Mt CINÉTIQUE (ou angulaire) Rotation Isotropie de l’espace Relativité de l’orientation (invariance) Principe de relativité

Symétries de jauge La grande avancée de la physique des hautes énergies (Physique quantique des champs) a été de comprendre que l’articulation Symétrie – relativité – loi de conservation (théorème d’Emmy Noether) est valable pour tout couplage entre champs de matière et champs d’interaction. Ce principe unificateur est appelé Principe d’invariance de jauge ► Il existe une profonde analogie entre ce principe et le principe d’équivalence de la relativité générale. ► Porte ouverte à une unification de la gravitation et des autres forces. ► Pont vers la théorie des cordes !

La relativité générale : une théorie de jauge à symétrie locale. En relativité restreinte l’invariance de Lorentz est une invariance globale (invariance par des transformations de symétrie identiques en tout point de l’espace-temps). En relativité générale, cette invariance est devenue une « invariance de jauge locale » par des opérations de symétrie dépendant du point d’espace-temps ou elles sont appliquées. ► Actuellement la volonté d’unifier les quatre forces fondamentales amène les physiciens à retenir de préférence une interprétation en terme de théorie de jauge, à l’inverse d’Einstein. Le formalisme de cette interprétation a été développé à partir de la théorie des groupes. Une rotation d’un certain angle autour d’un des axes de la sphère est une transformation globale : chaque point subissant la même rotation. ► Idée centrale d’une théorie de jauge : passage de la symétrie globale à la symétrie locale. Il s’agit également d’une symétrie globale, car la sphère est invariante par cette rotation. ► Remarque importante : cela implique une action Exemple : Un point repérable sur une sphère en caoutchouc. instantanée à distance ! Dans une transformation locale, chaque point de la surface de la sphère subit une rotation d’axes et d’angles différents. Il s’agit d’une symétrie locale car la sphère reste une sphère après la transformation, mais sa surface est modifiée. Les théories de jauge réalisent ce qu’avait suggéré le théorème de Noether.

Les deux grandes théories qui sont les piliers de la physique actuelle Théorie de la R. G. Théorie Quantique Vérifiée expérimentalement, qui décrit parfaitement les caractéristiques du macrocosme. Vérifiée expérimentalement elle aussi. Elle décrit le microcosme. Tout est sujet aux fluctuations quantiques. Elle nous apprend que la matièreénergie courbe l’espace. L’espacetemps est dynamique. L’espace est ‘’l’espace boite’’ rigide de Newton ou de la R. R. Le temps est universel. La théorie est « indépendante de fond » La théorie est « dépendante de fond » « L’indépendance de fond » stipule que la géométrie de l’espace-temps n’est pas fixe, mais en perpétuel évolution.

GRAVITATION ET THÉORIE DES CORDES La théorie des cordes propose de modifier fondamentalement la description théorique des propriétés ultramicroscopiques de l’Univers. John Schwarz Joël Scherk La théorie des cordes regroupe, en une théorie mathématiquement cohérente, la théorie quantique, l’invariance relativiste, la gravitation, les particules et les interactions du modèle standard. Pour y parvenir, on a dû formuler la théorie dans 11 dimensions d’espace-temps, interpréter les particules comme des cordes (des objets unidimensionnels plutôt que des objets ponctuels) et en y intégrant la supersymétrie. Dans un monde à 11 dimensions, il n’existe qu’une seule force universelle : LA GRAVITATION

Les cordes de la théorie des cordes sont codées dans la structure de l’espace-temps Le champ gravitationnel contient un nombre gigantesque de gravitons et donc de cordes oscillant selon le mode vibratoire approprié. Dans l’état originel, avant que les cordes n’entrent dans cette danse oscillante, cohérente et ordonnée, il n’y avait ni espace ni temps ! Les notions conventionnelles d’espace et de temps n’émergent que lorsqu’elles exécutent correctement les vibrations. ► Les physiciens devrons découvrir les outils mathématiques appropriés pour formuler la théorie sans avoir recours à des notions préexistantes d’espace et de temps ! Supersymétrie et gravitation Des théories, développées à partir de 1976 à la suite des travaux de S. Ferrara, D. Z. Freeman et P. van Nieuwenhuizen, portent le nom de théories de P. van Nieuwenhuizen SUPERGRAVITÉ

On représente la supersymétrie comme une symétrie qui opère dans une extension abstraite de l’espace-temps ordinaire : le superespace Il s’agit d’une généralisation de l’espace-temps qui inclut des coordonnées supplémentaires (des dimensions). Au graviton, médiateur de la gravitation est associé un superpartenaire : le gravitino. Fait intéressant, la structure géométrique de la supergravité prend une forme simple et élégante lorsqu’on étend l’espace-temps à 11 dimensions : Théorie des supercordes, Théorie M Il se trouve que c’est également le nombre maximal de dimensions possibles pour une théorie cohérente de la gravitation. Les cordes censées donner les gravitons sont fermées sur elles-mêmes, formant une sorte de boucle. Elles ne peuvent être attachées à un Univers brane. Elles peuvent donc voyager d’une brane à une autre et dans toutes les dimensions du superespace (Bulk).

Une partie de l’énergie de l’interaction gravitationnelle se trouverait donc évacuée dans les dimensions supplémentaires. Cela expliquerait la faiblesse apparente de cette force dans notre espace-temps à quatre dimensions. « Si la gravitation est si faible par rapport aux autres forces, c’est peutêtre parce qu’elle fuit dans des dimensions de l’espace auxquelles nous n’avons pas accès » Lisa Randall Université de Harvard

L'équation de Wheeler – De Witt La première tentative reconnue de modèle de cosmologie quantique remonte à la fin des années 60, sous forme de la quantification d’une reformulation de la relativité générale. John Wheeler et Bryce De Witt développèrent une équation d’onde cosmologique analogue à celle d'Erwin Schrödinger pour le microcosme. Cette équation était censée gouverner le comportement de la fonction d’onde de l’Univers dans son ensemble, c’est-à-dire son état quantique global. Malheureusement il fut impossible d’en trouver des solutions ! ( Remarque : La variable (t) ne figure pas dans l’équation. ) Nous savons qu’en théorie classique on ne mesure jamais le temps lui-même ; on mesure toujours des variables physiques (oscillations, battements etc. . ) et on compare toujours une variable avec une autre. Et pourtant il est utile d’imaginer qu’il existe une variable (t). ► En d’autres termes, l’existence de la variable temps est une supposition plus que le résultat d’une observation. ► Le modèle de Wheeler-De Witt obéit à la cosmologie classique dès qu'il a franchit le seuil de 10− 35 seconde (échelle de Planck). En deçà de ces dimensions, la fonction d'onde indique l'espace et le temps n'existe pas !

LA GRAVITATION QUANTIQUE Á BOUCLES Abhay Ashtekar Lee Smolin Carlo Rovelli Dans les années 80, quelques solutions de l’équation de Wheeler-De Witt apparaissent grâce à Abhay Ashtekar, en réécrivant l’équation sous une forme plus simple. Ces solutions dépendaient de lignes fermées dans l’espace (ou ‘’boucles’’). Ces premiers travaux allaient devenir, sous l’impulsion de Lee Smolin et Carlo Rovelli, la théorie de la « gravitation quantique à boucles » . Quelle est la signification de ces solutions ? Les lignes fermées qui apparaissent dans les solutions sont des ‘’lignes de Faraday’’ du champ gravitationnel. Deux nouveautés par rapport aux idées de Faraday. ● Nous sommes dans une théorie quantique. Tout y est discret et quantifié. ● Nous parlons de gravité. Donc nous ne parlons pas de champs immergés dans l’espace, mais de la structure même de l’espace. Les ‘’lignes de Faraday’’ du champ gravitationnel quantique sont les fils dont l’espace est tissé !

Nous vivons dans le champ gravitationnel et non dans ‘’l’espace-boîte’’ rigide L’espace, que Newton avait décrit comme une boite fixe et rigide, en réalité n’existe pas. C’est le champ gravitationnel, un objet physique élastique et dynamique de même genre que le champ électromagnétique, qui existe ! Les ‘’boucles’’ constituent les ‘’lignes de Faraday’’ du champ gravitationnel quantique. Mais puisque le champ gravitationnel est l’espace, ces boucles sont l’espace. L’espace est tissé de ces objets à une dimension (les boucles), dont les mailles s’enchaînent pour former un tissu 3 D. En l’absence de masse les boucles restent fermées sur elles mêmes. Au voisinage d’une masse, les boucles s’ouvrent, tout comme les lignes du champ électromagnétique s’ouvrent sous l’action de charges électriques. Les boucles du champ gravitationnel ont une taille de l’ordre de 10− 33 cm. (La longueur de Planck).

La mécanique quantique nous apprend essentiellement qu’à petite échelle il y a toujours une certaine ‘’granularité’’. Beaucoup de grandeurs physiques ont cette structure granulaire quantifiée (l’énergie, l’impulsion, etc. ). Le champ électromagnétique est également fait de ‘’grains’’ (les photons). Il s’ensuit que le champ gravitationnel doit lui aussi présenter une structure granulaire, exactement comme le champ électromagnétique. Il doit donc y avoir des ‘’grains d’espace’’ et la dynamique de ces grains doit être probabiliste. Les calculs, menant aux ‘’grains d’espace’’, ont été résolu grâce à Roger Penrose. Son travail a conduit à des objets mathématiques qu’il a appelé ‘’spin networks’’ ou ‘’réseaux de spins’’ ( j ). ► Un volume est donc composé de quanta d’espace ! R. Penrose Nœuds Grains d’espace Lignes Réseaux de spins j ≥ ½ Aires d’espace

Mais le problème ne s’arrête pas là ! Car c’est en effet la notion d’espace-temps qui doit être remplacée et qui doit devenir granulaire et probabiliste. Il faut penser un Monde dans lequel le temps n’est plus une variable continue qui s’écoule mais devient quelque chose fondée sur ce nuage de probabilité de ‘’grains d’espace-temps’’. L’espace-temps serait, à l’échelle de Planck, une sorte de mousse fluctuante (concept déjà suggéré par John Wheeler : ‘’mousse quantique’’). ► La théorie de la gravitation quantique à boucles est la concrétisation mathématique de cette idée. tic Dans la théorie de la gravitation à boucles, tout comme l’espace, le temps devient une notion relationnelle. Il n’exprime qu’une relation entre les différents états des choses. Le temps macroscopique apparaît seulement dans un contexte statistique thermodynamique. Remarque : On peut comprendre l’évolution de la géométrie comme les ‘’tic-tacs’’ discrets d’une horloge. Au ‘’tic’’, le quantum d’aire représenté en orange est présent. Au ‘’tac’’ il disparaît. En fait, c’est la disparition de ce quantum qui définit le ‘’tic-tac’’. tac L’intervalle de temps qui sépare un ‘’tic’’ d’un ‘’tac’’ est approximativement égal au temps de Planck. Le temps n’existe pas entre les deux ; pas plus qu’il n’y a d’eau entre une molécule d’eau et sa plus proche voisine.

► L’espace continu, que ces graphes occupent dans notre imagination, n’existent pas en temps que tel. Tout ce qui existe, ce sont les nœuds et les lignes : ils sont l’espace, et la façon dont ils sont connectés représente la géométrie de cet espace. En principe rien ne limite la taille ou la complexité d’un réseau de spins. Si nous pouvions dessiner un diagramme détaillé de l’état quantique de notre Univers (la géométrie de tout l’espace, courbée et cisaillée par l’action gravitationnelle de toutes les galaxies, des trous noirs et des divers autres constituants) nous obtiendrions un réseau de spins gigantesque, d’une complexité inimaginable, comportant 10184 nœuds ! ÉQUATIONS de la GRAVITATION QUANTIQUE à BOUCLES − La première définit l’espace de Hilbert de la théorie. − La deuxième, l’algèbre des opérateurs. − La troisième, l’amplitude de transition à chaque sommet. « L’espace est un réseau de spins, dont les nœuds représentent les grains élémentaires et les liens leurs relations de voisinage. Chaque centimètre cube d’espace et chaque seconde qui passe sont le résultat d’une ‘’mousse dansante de quanta minuscules » . Carlo ROVELLI

Théorie de la gravitation quantique à boucles et théorie des cordes Bien qu’il y est un air de famille entre cordes et boucles, la différence est énorme. ● Dans la théorie des cordes, la gravitation réside simplement dans les excitations de cordes (gravitons) plongées dans un espace-temps rigide (Celui de la RR et de la mécanique quantique relativiste). Cette théorie est privilégiée par les physiciens des hautes énergies. ● À l’inverse, la théorie de la gravitation quantique à boucles est formulée sans espace de référence : les boucles sont l’espace ! Dans les équations n’apparaissent nulle part la variable (t) ni la variable (x) et pourtant ces équations sont parfaitement capable de prédire l’évolution d’un système. En outre, la théorie ne suppose ni dimensions supplémentaires ni particules exotiques. Cette théorie est privilégiée par les spécialistes de la relativité générale. ► Finalement, les deux théories pourraient s’avérer complémentaires. En effet, malgré leur différence de perspectives, les deux théories ont indéniablement des points communs, en particulier l’idée centrale selon laquelle ce sont des objets à une dimension qui sont le support du champ gravitationnel à l’échelle fondamentale, qu’on les appelle cordes ou boucles. Une sorte de fusion des deux approches n’est pas inconcevable, même si elle se présente aujourd’hui comme techniquement très compliquée.

Cinq façons de concevoir la gravitation L m m Graviton T m m La gravitation est une force qui agit entre les corps. La gravitation est une déformation de l’espace-temps. La gravitation est une interaction qui s’établit par l’échange de gravitons. Théorie de Newton Théorie de la R. G. Théorie de jauge à symétrie locale superespace Univers brane La gravitation agit dans tout le superespace La gravitation est l’espace-temps Théorie des supercordes Théorie de la G. Q. à boucles

De quoi le Monde est-il fait ? Galilée Newton ► Espace ● Temps ● Particules Faraday Maxwell ► Espace ● Temps ● Champs ● Particules Einstein 1905 ► Espace – Temps ● Champs ● Particules M. quantique relativiste ► Espace – Temps ● Champs quantiques Einstein 1915 ► Champs covariants ● Particules Gravité quantique ► Champs quantiques covariants

« Je pense que l’idée de covariance indique une conception rationnelle de la réalité, non seulement en physique mais dans tous les aspects du monde. La capacité de l’esprit à pouvoir négliger les différences des impressions sensorielles et de prendre conscience uniquement de leurs caractéristiques invariantes me semble être le trait le plus impressionnant de notre structure mentale » . Max Born 1882 – 1970

PETITE BIBLIOGRAPHIE Galilée, Newton lus par Einstein – PUF – 1984 La gravitation – PUF – 1989 Comprendre la relativité – M. E. Berthon – Ed. TEC et DOC – 1999 L’univers élégant – B. Greene – Laffont – 2000 Petite introduction à la théorie des cordes – S. Gubser – Dunod – 2012 Et si le temps n’existait pas ? – C. Rovelli – Dunod – 2012 Par delà le visible – C. Rovelli – Odile Jacob – 2014