MQ VERSO IL FORMALISMO STATI FISICI AMPIEZZE E

MQ VERSO IL FORMALISMO

STATI FISICI, AMPIEZZE E VETTORI GLI STATI QUANTO-MECCANICI SONO DESCRITTI DA VETTORI APPARTENENTI AD UNO SPAZIO VETTORIALE ASTRATTO apparato sperimentale: 2 polaroid con direzione permessa lungo i versori u e v. Ogni fotone dell'insieme U (filtrato dal primo polaroid) attraversa con certezza un secondo polaroid con la stessa direzione permessa u.

il secondo polaroid B è orientato lungo una direzione arbitraria v • quali previsioni possiamo fare su U ? • qual è la probabilità P(u, v) per i fotoni U di attraversare il polaroid B e far scattare il rivelatore D? Un fascio con NUMEROSI FOTONI può essere descritto dalle leggi dell'OTTICA CLASSICA Þ legge di Malus Itr/Iin = cos 2 q q : angolo tra direzione di polarizzazione luce incidente e direzione permessa del polaroid. Interpretiamo: Itr/Iin = cos 2 q Þ Itr/Iin = N. fotoni trasmessi / N. fotoni incidenti

Allora Itr/Iin = P(u, v) Poiché P(u, v)=cos 2 q e cos 2 q = (u× v)2 Si ottiene P(u, v) = cos 2 q = (u× v)2 Qualunque sia la direzione permessa v, il versore u determina il COMPORTAMENTO STATISTICO dei fotoni.

la fisica classica descrive correttamente il comportamento medio di un grande numero di fotoni le nostre previsioni sono di carattere statistico, il versore u fornisce una DESCRIZIONE COMPLETA dei fotoni appartenenti all'insieme U.

Lo STATO di polarizzazione lineare di un fotone è quindi rappresentato da un VETTORE in uno spazio bidimensionale. Il versore v può rappresentare lo stato di un fotone che ha attraversato il polaroid B

Se il rivelatore D scatta, significa che la nostra misura ha indotto una transizione dallo stato u allo stato v. La relazione (u×v)2 indica una semplicissima procedura per determinare la PROBABILITÀ DI TALE TRANSIZIONE.

COMBINAZIONE LINEARE E AMPIEZZE ogni vettore in uno spazio bidimensionale può essere scritto come combinazione lineare di due vettori mutuamente ortogonali H e V: Þ lo stato u può essere scritto u = y 1 H + y 2 V Le componenti y 1 e y 2 sono chiamate » ampiezze» Devono obbedire alla CONDIZIONE DI NORMALIZZAZIONE: y 1 2 + y 2 2 = 1

Si deve notare che: • Poichè H e V sono versori anch'essi rappresentano due possibili stati di un fotone linearmente polarizzato. • La relazione vettoriale u = y 1 H + y 2 V rappresenta la formulazione quantitativa del principio di sovrapposizione per gli stati di polarizzazione: LA COMBINAZIONE LINEARE DI DUE STATI FISICI È ANCORA UNO STATO FISICO AMMISSIBILE

• D'altra parte y 1 = H×u perciò il suo modulo quadro y 12 è la probabilità di transizione dallo stato u allo stato H: cioè la probabilità di essere rivelato/ misurato, se la direzione permessa del secondo polaroid fosse H Y 12 è la probabilità di trovare un fotone nello stato H P(H)

• analogamente y 2 = V×u • perciò y 22 è la probabilità di transizione dallo stato u allo stato V: la probabilità di essere rivelato/misurato, se la direzione permessa del secondo polaroid fosse V P(V) • Y 22 fornisce la probabilità di trovare il fotone nello stato V La relazione u concettuali!!!!! = y 1 H + y 2 V, contiene importanti novità LA SEMPLICITÀ NON DEVE DIVENTARE RIDUZIONISMO: CERCHIAMO UNA VIA PER CAPIRLE!

Una ipotesi da valutare… funziona? In fisica classica l'insieme U può essere pensato come unione di 2 sottoinsiemi disgiunti caratterizzati da proprietà fisiche complementari (incompatibili). P(H) : probabilità che un fotone di U, scelto a caso abbia proprietà H P(V) : probabilità che un fotone di U, scelto a caso abbia proprietà V

La probabilità di scattare del rivelatore P(D) è Con Da cui segue: P(u, v)=cos 2 q = (u×v)2 u = y 1 H + y 2 V P(D)=P(u, v)=(u×v)2=[y 1 H×v + y 2 V×v]2 = P(H) (H×v)2 + P(V) (V×v)2 + 2 y 1 y 2(H×v)(V×v) gli stati H e V descrivono il comportamento statistico dei fotoni con proprietà H e V (H×v)2 = P(D|H) Þ probabilità di far scattare D, se il fotone ha la proprietà H (V×v)2 = P(D|V) Þprobabilità di far scattare D, se il fotone ha la proprietà V Allora: P(D) = P(H)P(D|H) + P(V)P(D|V) + 2 y 1 y 2(H×v)(V×v)

STATI E AMPIEZZE - STATI ORTOGONALI Come scrivo u = y 1 H + y 2 V posso scrivere v = y'1 H + y'2 V La probabilità P(u, v) può allora essere scritta come P(u, v) = (u×v)2 = (y 1 y'1+y 2 y'2)2

Riprendiamo la formula relativa alla PROBABILITÀ DI FARE SCATTARE IL RIVELATORE D in uscita ai due polaroid con direzione permessa lungo i versori u e v P(D)=P(u, v)=(u×v)2= [y 1 H×v + y 2 V×v]2 = (y 1)2 (H×v)2 + (y 2)2 (V×v)2 + 2 y 1 y 2(H×v)(V×v) P(H) P(D|H) P(V) P(D|V) ? ?