Mouvement dun corps soumis lattraction gravitationnelle dun autre

Mouvement d’un corps soumis à l’attraction gravitationnelle d’un autre corps Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Johannes KEPLER (1571 - 1630) " loi des aires " (1604) le rayon vecteur qui joint le Soleil à une planète balaie des aires égales en des temps égaux. " loi du mouvement elliptique " ( 1609) les planètes décrivent des orbites elliptiques dont un des foyers est occupé par le Soleil. 3ème loi (1618 ) pour l'ensemble des planètes, le carré de la période orbitale T est proportionnel au cube du grand axe a. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Galileo GALILEI (1564 – 1642) Étude expérimentale du mouvement d’un corps en chute libre Expérience réalisée en 1602 pour évaluer la vitesse des corps au cours de leur chute. Des billes de laiton glissent dans des rainures inclinées longues de quatorze mètres et les durées de chute sont mesurées avec une horloge à eau. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

La vitesse des billes est d’autant plus grande que leur chute dure plus longtemps. La vitesse s’augmente de quantités égales dans des temps égaux quelconques. Le mouvement de chute des corps est uniformément accéléré La longueur de la chute d’un corps dépend, non pas de sa durée, mais du carré de cette durée : au bout d’un temps double, le corps parcourt un espace quadruple. Principe de l’inertie publié en 1638, lorsque Galilée était en résidence surveillée à Arceti Un corps qui n’est soumis à aucune force est animé d’un mouvement rectiligne et uniforme Mais une question restait : pourquoi les planètes se déplaçaient-elles sur des courbes et non en ligne droite ? C’est Robert Hooke qui devait y répondre quelques dizaines d’années plus tard. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Discours et démonstrations publié en 1638 Nous avons été conduit comme par la main à la découverte de la loi du mouvement naturellement accéléré par l’observation des autres œuvres de la nature, où elle n’emploie jamais que les moyens les plus simples et les plus faciles. Lorsque je vois qu’une pierre acquiert, dans sa chute, d’incessants accroissement de vitesse, pourquoi ne penserais-je pas que ces accroissements sont réglés de la façon la plus simple ? Or, si nous y regardons attentivement, nous ne trouverons aucun mode d’accroissement plus simple que celui qui se fait toujours de la même manière. Et on le comprendra facilement en observant la très grande affinité qui se trouve entre le temps et le mouvement : car de même que le mouvement uniforme se conçoit et se définit par l’uniformité dans le temps et l’égalité dans les espaces, de même nous pouvons concevoir que les accroissements de vitesse se fassent d’une manière simple dans les parties égales des temps, en imaginant que, dans le mouvement uniformément accéléré, la vitesse reçoive les mêmes accroissement dans des temps égaux quelconques, de sorte que le mobile acquérant au bout de deux particules de temps, au bout de trois, etc. , des vitesses double, triple, etc. , de celle qu’il avait acquise à partir du repos dans la première : s’il prenait au bout de chacune de ces particules de temps, un mouvement uniforme dont la vitesse fut la vitesse alors acquise, il parcourrait dans ces divers mouvements des chemins simple, double et triple, etc. , dans un même temps. Nous dirons donc qu’un mouvement uniformément accéléré est celui dans lequel la vitesse s’augmente de quantités égales dans des temps égaux quelconques. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Robert HOOKE (1635 - 1703) Hooke était fasciné par l’incroyable simplicité apparente de la troisième loi de Képler. Pour facilité une première explication, il identifia les orbites planétaires à des cercles. Les planètes n’ayant pas un mouvement rectiligne uniforme, elles devaient être soumises à l’action d’une force dirigée radicalement vers l’intérieur de l’orbite. Hooke proposa l’analogie du mouvement d’une pierre attachée à une ficelle que l’on fait tourner avec le bras. La force agissant sur la pierre dépend de la masse m de la pierre, de sa vitesse v, et de la longueur a de la corde. Christian HUYGENS (1629 - 1695) Une planète de masse m, sur un cercle de rayon r, est soumis à une force gravitationnelle mais 3ème loi de Képler La force gravitationnelle agissant sur une planète est inversement proportionnelle aud’Astronomie carré de sa distance au Soleil. Club - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Isaac NEWTON (1642 – 1727) Le génie de Newton fut d’avoir synthétisé tous les résultats de ses prédécesseurs et d’avoir clairement démontré l’universalité de la gravitation. De 1684 à 1687, il travailla à la rédaction d’un ouvrage qu’il publia en 1687 Philosophae naturalis principia mathématica. Dans les deux premières parties de Principes, Newton décrivait les lois générales du mouvement : Le Principe de l’inertie Tout corps maintient son état de repos, ou de mouvement uniforme rectiligne, à moins que des forces agissant sur lui ne le forcent à modifier cet état. Le Principe fondamental de la dynamique L’accélération d’un corps est proportionnelle à la force agissant sur lui et elle est dans la direction dans laquelle la force agit. =m. Le Principe de l’action de de la réaction À chaque action s’oppose toujours un réaction égale ; les actions mutuelles de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales et opposées Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Dans la troisième partie des Principes, Newton démontre à l’aide de son invention, le calcul différentiel et intégral, le comportement de la force de gravité dans le cas des orbites elliptiques. Loi de la gravitation universelle Chaque corps dans l’univers attire tout autre corps avec une force F qui est proportionnelle au produit de leur masse m 1 et m 2 et inversement proportionnelle au carré de la distance d entre leurs centres G est la constante gravitationnelle Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Relation fondamentale de la Dynamique et Moment cinétique d’un mobile Un corps de masse m , animé d’une vitesse à un instant t, est soumis à une force La force provoque une modification de la vitesse du corps et de sa quantité de mouvement Si un corps P est animé d’un mouvement de rotation autour d’un point O Le moment de sa quantité de mouvement est appelé moment cinétique σ du corps P P Si M est le moment de la force qui s’exerce sur le corps P : ¬ σ = m. v. O Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Conservation du moment cinétique et loi des aires Lorsqu’un corps P est soumis à l’action gravitationnelle d’un corps céleste, la force d’attraction est toujours dirigée vers un même point C, le centre du corps céleste. Son moment par rapport au point C est donc constamment nul : σ = constante σ = m. v. = constante ð v. = constante P et P' sont deux positions du corps à deux instants voisins t et t + dt P P' = v. dt C Puisque v. = constante ¬ L’aire du triangle PCP' P' P L’aire balayée par le rayon vecteur d’une planète est proportionnelle au temps. C’est la « loi des aires » découverte par Képler Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Énergie mécanique du corps P Le rayon vecteur r = C P du corps P de masse m soumis à l’attraction du corps céleste C de masse M varie constamment au cours du temps mais son énergie totale reste constante. P (m) r (M) C Énergie cinétique Ec + Énergie potentielle Ep = Énergie totale E constante En coordonnées polaires, l’énergie cinétique a pour expression : L’Énergie potentielle du corps P soumis à l’attraction du corps C vaut : Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon x

Équation de la trajectoire du corps P en coordonnées polaires Les coordonnées de P sont : r et , fonctions du temps t. L’équation de la trajectoire est de la forme r = f( ) Dans l’équation il faut donc éliminer le temps t , d. S s’exprime en coordonnées polaires par : Dans la loi des aires et Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Si on pose : et L’équation s’écrit : En dérivant par rapport à , cette expression où E est une constante, on obtient : et après simplification : soit Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

L’équation admet comme solution : où K, A et 0 sont des constantes déterminées par les conditions initiales du mouvement : position initiale du corps, module et direction de la vitesse à l’origine du temps Cette relation r = f( ) représente l’équation de la trajectoire du corps P Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Équation générale d’une conique en coordonnées polaires P où p est le paramètre et e l’excentricité de la conique 0 est l’angle que fait le grand axe de la conique avec l’axe polaire origine. Si e = 0 la conique est un cercle al e c o e f niqu x A co la e d r F 0 Si e < 1 la conique est une ellipse Si e = 1 la conique est une parabole Si e > 1 la conique est une hyperbole Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon Axe polaire origine

Équation de la trajectoire du corps P Équation générale d’une conique et Si on prend : l’équation de la trajectoire s’écrit : soit Lorsqu’un corps est soumis à l’attraction newtonienne d’un autre corps sa trajectoire est une conique Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Cas d’une ellipse définie par son demi-grand axe a et son excentricité e, l’équation: devient Périhélie pour cos( - 0) = 1 Aphélie pour cos( - 0) = - 1 Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon