Metrik Uzay M 1 M 2 Kesin pozitif

Metrik Uzay M 1 M 2 Kesin pozitif M 3 Simetri M 4 Üçgen eşitsizliği Örnekler: 1) Reel Sayılar Doğrusu 2) Euclid Düzlemi Euclid normu Manathan/Taksi şöförü normu 3) Dizi Uzayı Dizi kompleks sayılardan oluşan sınırlı diziler kümesi

4) Sürekli Fonksiyonlar Uzayı Verilen bir kapalı aralıkda sürekli olan reel değerli fonksiyonlar kümesi 5) Ayrık Metrik Uzayı 6) Dizi Uzayı S ‘dan bir farkı olmalı Kompleks sayılardan oluşan tüm diziler Neden için tanımlanan metrik burada işe yaramaz?

7) Uzayı Bir özel durum: p=2 Bu tür dizileri nerede kullanıyoruz?

X=(X, d) metrik uzayında bazı özel alt kümeler Yuvar ve Küre Açık Yuvar Kapalı Yuvar Küre Açık küme, Kapalı Küme Açık kümedir ‘nın ‘deki tümleyeni açık ise Kapalı kümedir. Her açık yuvar, bir açık küme, Her kapalı yuvar, bir kapalı kümedir.

- komşuluk, komşuluk ‘nun -komşuluğudur. -komşuluğunu kapsayan her , ‘nun komşuluğudur. İç Nokta, içi , ‘in içi, ‘nun komşulu ise, ‘nin iç noktasıdır. ‘nin tüm iç noktalarının oluşturduğu kümedir. Hatırlatma: Süreklilik fonksiyonu tanım bölgesindeki bir noktasında ancak ve ancak, seçilen her sayısı için alındığında olacak şekilde bir sayısı bulunabiliniyorsa süreklidir.

Sürekli Dönüşüm için noktasında süreklidir. için sürekli ise süreklidir. Yığılma Noktası, Kapanış ‘nin yığılma noktası ise ve ‘nun her komşuluğunda en az bir ‘ in yığılma noktalarını içeren küme ‘nin kapanışıdır. ‘ yi içeren en küçük kapalı kümedir. vardır

Sayılabilir Küme ve kümeleri arasında birebir ve üzerine bir dönüşüm varsa bu iki küme birbirine sayısal olarak eşdeğerdir. Sayısal olarak doğal sayılar kümesine eşdeğer olan bir kümesine numaralanabilir denir. Sonlu ya da numaralanabilir bir kümeye sayılabilir adı verilir. Yoğun Küme, Ayrılabilir Küme ‘de yoğundur ‘in sayılabilir, ‘de yoğun alt kümesi varsa ayrılabilirdir. Örnek 1) 2) ayrılabilirdir, neden? ayrılabilir midir? Dizi Uzayı Dizi kompleks sayılardan oluşan sınırlı diziler kümesi

sıfır ve birlerden oluşan bir dizi olsun ve y ile bir reel sayı ilişkilendirelim. Nasıl? Bu dizi neden uzayının elemanıdır? Her bir ‘yı ‘ye karşı düşen dizi oluşturusak bunlardan kaç tane olur? Her için oluşturulan dizi farklı olacağından tanımlanmış metrik ne verecek? ile Her dizi küçük bir yuvarın merkezinde olsun Bu mesafe ne idi? Bu yuvarlardan kaç tane var? Yarıçaplar ne olabilir? Yoğun küme tanımından ve yoğun olsun yuvarların herbirinde bir elemanı vardır. sayılabilir değildir. Neden? ayrılabilir değildir. herhangi bir küme idi

3) ayrılabilir midir? Uzayı küme olsun. olmak üzere diziler oluşturalım ve bu dizilerin oluşturduğu Neden sayılabilir bir küme Neden ? Herhangi bir alalım Neden ? Bu terim neyi temsil ediyor? ?

‘de yoğun olduğundan her için civarında bir sağlayan bir ‘de yoğundur. bulunur. vardır.

Dizinin Yakınsaklığı, Limit ise yakınsaktır. ‘in limitidir. veya yakınsak değilse ıraksaktır. Sınırlı Küme, sınırlı dizi sonlu ise sınırlı kümedir. M kümesinin çapı ‘e karşı düşen noktalar kümesi sınırlı dizidir. ‘in sınırlı bir alt kümesi ise

Yakınsaklığın tanımına bir daha bakalım Dizinin Yakınsaklığı, Limit ise yakınsaktır. Bu metrikden yararlanarak n=1, 2, 3, . . . için bir dizi tanımlayalım Bu dizi nerede? ise Lemma Sınırlılık ve limit MU 3 a) b) ‘de yakınsak bir dizi sınırlıdır ve limiti tektir. ‘de ve

Hatırlatma: Cauchy dizisi Bir dizisi her sayısına karşılık gelen bir alındığında olacak şekilde bulunabiliyorsa Cauchy dizisi adını alır. Cauchy Dizisi, Tamlık “Cauchy” dir tamdır ‘deki her Cauchy dizisi yakınsaktır.

Banach Sabit Nokta Teoremi (Büzülme Teoremi) Banach's fixed point theorem has important applications to iteration methods for solving systems of linear algebraic equations and yields sufficient conditions for convergence and error bounds. To understand the situation, we first remember that for solving such a system there are various direct methods (methods that would yield the exact solution after finitely many arithmetical operations if the precision-the word length of our computer-were unlimited); a familiar example is Gauss' elimination method (roughly, a systematic version of the elimination taught in school). However, an iteration, or indirect method, may be more efficient if the system is special, for instance, if it is sparse, that is, if it consists of many equations but has only a small number of nonzero coefficients. (Vibrational problems, networks and difference approximations of partial differential equations often lead to sparse systems. ) Moreover, the usual direct methods require about n 3/3 arithmetical operations (n = number of equations = number of unknowns), and for large n, rounding errors may become quite large, whereas in an iteration, errors due to roundoff (or even blunders) may be damped out eventually. In fact, iteration methods are frequently used to improve "solutions" obtained by direct methods.