MATHMATIQUE Tronc commun Sciences Rsum de Cours avec

MATHÉMATIQUE Tronc commun Sciences Résumé de Cours avec exemples et exercices avec corrections Leçon 11: Partie 2 : Equations Trigonométriques sin y = sin x 2) Equation: cos y = cos x 3) Equation: tan y =tan x 1) Equation: 4) Propriété Capacité travaillée: résoudre une équation trigo Méthodes et astuces Remarques et conseils pratiques Création : ATMANI NAJIB

Équations trigonométriques I)Les équations trigonométriques élémentaires 1) a)Equation: sin y = sin x Équivaut ou b) Résolution de l’équation: • Si ou Avec: + J 0 1 I Avec: alors l’équation n’admet pas de solution dans. Et on a : • Si alors il existe un unique réel : Et on a donc : ou dans tel que: Avec: Par suite : Exemples: 1)Résoudre dans ℝ l’équation suivante : Solution: 1) On peut utiliser le tableaux : Création : ATMANI NAJIB

Solution: 1) Équivaut ou Avec: Par suite : v Méthodes d’encadrement : C’est-à-dire : a) Encadrement de : et Équivalent à : -5 Alors: Équivalent à : C’est-à-dire : -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 donc: 3 Résumé Équivaut ou Avec: Création : ATMANI NAJIB

C’est-à-dire : b) Encadrement de : et Équivalent à : -5 Alors: Équivalent à : C’est-à-dire : -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 donc: Équivalent à : v Méthodes sans encadrement : § Pour : et Prenons par exemple la valeur et remplaçons on obtient: Car: il est donc évident que des valeurs de k inférieures à -1 ne conviendront pas non plus. Par contre, si je choisis : Pour on obtient: il est donc évident que des valeurs de k supérieurs à 1 ne conviendront pas non plus. Donc : la seule valeur qui vérifie pour § Pour : Est : Avec la même démarche on trouve que seule vérifie Création : ATMANI NAJIB

Exercice: Solution: 1) 1)Résoudre dans ℝ l’équation suivante : Équivaut ou Équivaut Car on a : Avec: Équivaut Avec: ou Par suite : v Méthodes d’encadrement : a) Encadrement de : C’est-à-dire : Équivalent à : -5 -4 et -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 Alors: C’est-à-dire : donc: 5 Création : ATMANI NAJIB

b) Encadrement de : -5 Équivalent à : Alors: -4 -3 ou -2 -1 0 +1 +2 Équivalent à : C’est-à-dire : et Finalement : Exemple 2: Solution: Équivalent à : Exercice: Solution: Équivalent à : Équivalent à : On continue en appliquant la règle……. . La résolution de l’équation donne finalement : Création : ATMANI NAJIB Par suite : +3

2) a)Equation: cos y = cos x Équivaut ou b) Résolution de l’équation: • Si ou Avec: alors l’équation n’admet pas de solution dans. et on a : • Si alors il existe un unique réel : et on a donc : + J Avec: ou dans tel que: 0 1 I Avec: Par suite : Exemples: 1)Résoudre dans ℝ l’équation suivante : Solution: 1) On peut utiliser le tableaux : Création : ATMANI NAJIB

Création : ATMANI NAJIB Solution: 1) Équivaut ou Équivaut Avec: Par suite : v Méthodes d’encadrement : C’est-à-dire : a) Encadrement de : et Équivalent à : -5 Alors: Équivalent à : Résumé C’est-à-dire : Équivaut -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 donc: ou Avec: 8

C’est-à-dire : b) Encadrement de : et Équivalent à : -5 Alors: Équivalent à : C’est-à-dire : -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 donc: Équivalent à : v Méthodes sans encadrement : § Pour : et Prenons par exemple la valeur et remplaçons on obtient: Car: il est donc évident que des valeurs de k inférieures à -1 ne conviendront pas non plus. Par contre, si je choisis : Pour on obtient: il est donc évident que des valeurs de k supérieurs à 1 ne conviendront pas non plus. Donc : la seule valeur qui vérifie pour § Pour : Est : Avec la même démarche on trouve que seule vérifie…… Création : ATMANI NAJIB

Exercice: 1)Résoudre dans ℝ l’équation suivante : Solution: 1) Équivaut: Équivaut Car on a : Avec: ou Par suite : v Méthodes d’encadrement : C’est-à-dire : a) Encadrement de : Équivalent à : C’est-à-dire : -5 Alors: donc: -4 et -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 10 Création : ATMANI NAJIB

b) Encadrement de : -5 Équivalent à : -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 Alors: avec donc: C’est-à-dire : Finalement : et Exemple 2: Solution: Équivalent à : Par suite : Exercice: Solution: La résolution de l’équation donne finalement : Création : ATMANI NAJIB

3)a) Equation: b)Résumé: Équivaut à : avec : Exemples: 1)Résoudre dans ℝ l’équation suivante : + J Solution: est définie dans ℝ Équivaut à : On a : avec On sait que : 0 1 I Équivalent à : avec Donc: Création : ATMANI NAJIB

4) Propriété : Des équations trigonométriques spéciaux : avec Équivalent à : avec Équivalent à : avec Exercice: Solution: 1) Équivaut ou Équivaut avec Équivaut ou Après encadrement dans : ou ou ou On trouve finalement : avec Fin leçon Création : ATMANI NAJIB

Résumé Équivaut à : ou avec : Équivaut à : avec : Création : ATMANI NAJIB

TRIGONOMÉTRIE 2: Equations Trigonométriques Création : ATMANI NAJIB