Mathmatiques Tronc commun Sciences BIOF tapes de la

Mathématiques Tronc commun Sciences BIOF Étapes de la leçon 9: TRIGONOMÉTRIE 1 I) Le radian et le cercle trigonométrique : 1) le radian 2) le cercle trigonométrique 3) Correspondance degrés et radians: II) Les abscisse curviligne d’un point sur le cercle trigonométrique 1) Les abscisse curviligne 2) Abscisse curviligne principale : III) Relation de Chasles pour les angles orientés de deux demi-droites et de vecteurs IV) Les rapports trigonométriques d’un nombre réel. 1) Cosinus, sinus et tangente : 2) Cosinus, sinus et tangente d’angles remarquables : 3) Propriétés 4) Signe de Cosinus, sinus: 5)Loi des sinus : Création : ATMANI NAJIB

MATHÉMATIQUE Tronc commun Sciences Résumé de Cours avec exemples et exercices avec corrections Leçon 9: TRIGONOMÉTRIE 1: le radian et abscisse curviligne Capacité travaillée: Utiliser le cercle trigonométrique Méthodes et astuces Remarques et conseils pratiques Création : ATMANI NAJIB

I) Le radian et le cercle trigonométrique : 1)CERCLE TRIGONOMETRIQUE : Définition: Dans un repère orthonormé (O ; I , J), le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct ou encore sens trigonométrique. Le sens des aiguilles d’une montre est appelé sens indirect. 2) LE RADIAN : a) Définition: On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle. Remarque: Cette unité est très utilisée en mathématiques car elle permet une relation directe entre un angle exprimé en radians et la longueur d’un arc de cercle associé. De façon plus globale, la relation entre la longueur L d’un arc de cercle de rayon r et l’angle associé α exprimé en radians est égale à: L = r α mais dans le cercle trigonométrique on a : r=1 donc : L = α Trigonométrie vient du mot grec Trigone, qui signifie simplement « Triangle » . Création : ATMANI NAJIB

b) La relation entre le degré et le radian Les principales unités de mesure sont : Le degré ; Le grade ; Le radian et On peut passer d’une unité a une autre. Mais comment? ? ? Remarque : π radians correspondent à 180 ° (angle plat: mesure en degrés 180) ou Exemple 1: Solution: Montrer que: On a : 1 rad = 57, 3° Donc : Exemple 2: Donner la mesure en radians de l'angle de mesure 33°. Solution: On a : Donc : De la même façon on peut Compléter le tableau suivant: Création : ATMANI NAJIB

Activité: Enroulement de la droite numérique On place la droite numérique (D) perpendiculaire à (OI) telle que le 0 de la droite numérique coïncide avec le point I et on l’oriente dans le sens de O vers J. On enroule la demi-droite des réels positifs sur le cercle C dans le sens trigonométrique et la demi-droite des réels négatifs sur le cercle C dans le sens indirect. Chaque point M du cercle est ainsi recouvert par une infinité de nombres réels tous appelés abscisses curvilignes du point M. Conséquence : Si x est une abscisse curviligne de M toutes les autres s'écrivent : x ′ = x+ 2 kπ Méthode 1. Pour trouver un point image : on utilise le fait que la longueur du cercle trigonométrique est 2π par proportionnalité, le demi-cercle mesure π et le quart de cercle mesure 2π 2. Pour déterminer plusieurs réels associés au même point sur le cercle trigonométrique, il suffit d’ajouter ou de soustraire 2π au réel donné. 5 Création : ATMANI NAJIB

II) Les abscisse curviligne d’un point sur le cercle trigonométrique et l'angle orienté de deux demi- droites ( ou de deux vecteurs): J M 1)Les abscisse curviligne d’un point sur le cercle trigonométrique + 1) Soit un point du cercle trigonométrique d’origine Et soit la longueur de l’arc (on allant de vers M dans le sens direct) en radian Tout réel qui s’écrit sous la forme : -1 avec 0 1 I s’appelle abscisse curviligne de M Conséquence : Si est une abscisse curviligne de M toutes les autres s'écrivent : on écrit : Donc: Et on lit : est congrue a Exemples : 1) si avec 1) si alors avec modulo alors par ex : donc les abscisses curvilignes de ; ; ………. . ; donc les abscisses curvilignes de par ex : ; ; J sont de la forme : ; ………. . ; M -1 0 1 I Création : ATMANI NAJIB

Exercice : Sur le cercle trigonométrique ci-contre, déterminer une abscisse curviligne associés aux points : A; B ; C ; D ; E ; F; G; H; I ; J Correction: : Qui signifie que est une abscisses curvilignes de J : Qui signifie que est une abscisses curvilignes de A Donc: ; ; ; OU Donc: OU 7 NAJIB Création : ATMANI

Création : ATMANI NAJIB 2) abscisse curviligne principale Définition : parmi les abscisses curvilignes d’un point M du cercle trigonométrique une seule se situe dans l'intervalle et on l’appelle abscisse curviligne principale du point M ; ; ………. . ; avec : Exemples : 1) les abscisses curvilignes de sont Donc 0 est l’abscisses curviligne principale de 2) Pour : car J est l’abscisses curviligne principale car M Exercice : Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacune des points suivantes ; ; et Placer sur le cercle trigonométrique les points Solution : 1) Soit Methode 1: l’abscisse curviligne principale associée a: Donc: Alors il existe un tel que : et C’est-à-dire : Équivalent à : Et et Équivalent à : -5 Alors: -4 -3 -2 0 -1 -1 1 O +1 +2 +1 Donc: I l’abscisse curviligne principale de A 8 +3

Création : ATMANI NAJIB Exercice (suite) Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacune des points suivantes ; ; Solution : 1) Methode 2: et Placer sur le cercle trigonométrique les points Équivalent à : et et Donc: l’abscisse curviligne principale de A l’abscisse curviligne principale associée a: Alors il existe un Équivalent à : -1 +1 +2 Alors: Donc: tel que : et C’est-à-dire : -2 -2 -3 Methode 1: 2) Soit O Et Donc: est l’abscisse curviligne principale de B Methode 2: et Donc: car est l’abscisse curviligne principale de B

Exercice (suite) Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacune des points suivantes ; ; et Placer sur le cercle trigonométrique les points Methode 1: Solution : 3) -19 -18 -17 Alors: et Donc: car Donc: l’abscisse curviligne principale de C Donc: Methode 2: Soit l’abscisse curviligne principale associée a: Donc: Alors il existe un et tel que : C’est-à-dire : Et Équivalent à : ssi : et Création : ATMANI NAJIB

Des radians … mais pour quoi faire ? Longueur Angle (°) ½ Cercle R 180 Arc L x L L Pour simplifier cette formule … Création : ATMANI NAJIB

Exemple Création : ATMANI NAJIB

TRIGONOMÉTRIE 1: le radian et abscisse curviligne Création : ATMANI NAJIB