tapes de la leon I Ensembles de nombres

Étapes de la leçon I. Ensembles de nombres. II. Opérations et règles de calcul dans l’ensembledes nombres réels : III. Ensemble des nombres réels et sous-ensembles Les puissances. IV. Racine carrée : d’un nombre positif. V. Leçon 4: Écriture scientifique d’un nombre décimal : VI. Identités Remarquables VII. Factorisation Mathématiques Tronc commun Sciences BIOF

Tronc commun Sciences MATHÉMATIQUE Résumé de Cours avec exemples et exercices avec corrections Leçon 4: Ensemble des nombres réels et sous-ensembles Objectifs: apprendre à reconnaître identifier et utiliser ces types particuliers d’égalités et les utilisés pour les développements et factorisations Méthodes et astuces Remarques et conseils pratiques Création : ATMANI NAJIB

DEVELOPPER AVEC LES IDENTITES REMARQUABLES Activités (a + b)² = (a + b) = a²+ ab + b² = a² + 2 ab + b² a b a² ab a (a + b) ab ab (a + b)² b² (a + b) b

( a - b ) ² = ( a - b ) ( a - b) = a² - ab -ab + b² = a² - 2 ab + b² Réécriture Multidistributivité Réduction ( a - b )² = a² - 2 ab + b²

( a + b )( a - b ) = a² - ab + ab - b² = a² - b² Multidistributivité Réduction ( a + b )( a - b ) = a² - b²

Autre identités remarquables ( a + b ) 3 = ( a + b) ( a + b ) Réécriture =( a + b ) 2 ( a + b ) =( a² + 2 ab + b² ) ( a + b ) Multi distributivité = a 3 + a²b + 2 ab² + b²a + b 3 = a 3 + 3 a²b + 3 ab² + b 3 Donc: Réduction L’identité remarquable: ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a²b + 3 ab² + b 3

Autre identités remarquables ( a - b ) 3 = ( a - b) ( a - b ) Réécriture =( a - b ) 2 ( a - b ) =( a² - 2 ab + b² ) ( a - b ) Multi distributivité = a 3 - a²b - 2 a²b + 2 ab² + b²a - b 3 = a 3 - 3 a²b + 3 ab² - b 3 Donc: Réduction L’identité remarquable (a-b)3 = a 3 - 3 a²b + 3 ab² - b 3

Autre identités remarquables ( a - b ) ( a² +ab+b² ) = = a 3 Multi distributivité 3 b + a²b + ab² - a²b - ab² = a 3 - b 3 Donc: ( a - b ) ( a² +ab+b² ) = a 3 - b 3 ( a + b ) ( a² - ab+b² ) = Multi distributivité = a 3 - a²b + ab² + a²b - ab² + b 3 = a 3 + b 3 Donc: Réduction L’identité remarquable ( a + b ) ( a² - ab+b² ) =a 3 + b 3 Réduction

IV. Les identités remarquables Des produits Des sommes ( a + b )² ( a - b )² = a² + 2 ab + b² = a² - b² = a 3 + 3 a²b + 3 ab² + b 3 (a+b)3 (a-b)3 = a 3 - 3 a²b + 3 ab² - b 3 ( a - b ) ( a² +ab+b² ) = a 3 - b 3 ( a + b )( a - b ) ( a + b ) ( a² -ab+b² ) = a 3 + b 3 Développement Factorisation Factoriser une expression c'est transformer en un produit de facteurs.

1)Développement: Exemples: (x + 9)² = Carré de x (x – 7)² = On reconnaît x² + 18 x + 81 x² (a + b)² = a² + 2 ab + b² Double Carré de 9 produit – 14 x + 49 Double (x + 4)(x Carré de x– 4) = x² – 16 Carré de 7 produit Carré de x On reconnaît (a – b)² = a² – 2 ab + b² On reconnaît (a + b)(a – b) = a² – b² Carré de 4 (2 x + 3)² = 4 x² + 12 x +9 On reconnaît (a + b)² = a² + 2 ab + b² (4 x Double – –Carré 5)² =de 16 x + 2 x² 40 x produit 25 Carré de 3 On reconnaît (a – b)² = a² – 2 ab + b² (6 x – 8)(6 x + 8) = 36 x² – 64 Carré de 4 x Double produit Carré de 5 On reconnaît (a + b)(a – b) = a² – b²

Développement: Exemples: Exemple 1: Exemple 3: Développer: Solution: la bonne identités remarquables est : (a + b) ² = a²+2 ab+b² Solution: la bonne identités remarquables est : ( a+ b)( a –b) =a²-b² Exemple 2: Solution: la bonne identités remarquables est : (a - b) ² = a²-2 ab+b²

Exemple 4: Solution: la bonne identités remarquables est : ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a²b + 3 ab² + b 3 + 23 Exemple 5: Solution: la bonne identités remarquables est : (a-b)3 = a 3 - 3 a²b + 3 ab² - b 3 - 33

2)FACTORISER avec une identité remarquable Exemple 1 : 9 x² + 24 x + 16 = (3 x)² + 2 × 3 x × 4 + 4² carré dedouble 3 xcarréproduit de 4 ? ? = (3 x + 4)² 25 – 90 x + 81 x² = On reconnaît l’identité remarquable: 5² - (2 × 5 × 9 x + (9 x)² (2 × 5 × 9 x = 90 x) = (3 x - 5)² produit carrédouble de 5 de carré 9 x ? ? Exemple 3: On reconnaît l’identité remarquable a² - 2 ab + b² = (a - b)² – 7² = (4 x + 7)(4 x – 7) carré de carré 4 x de 7 24 x) a² + 2 ab + b² = (a + b)² Exemple 2: 16 x² – 49 = (4 x)² (2 × 3 x × 4 = On reconnaît la 3ème identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b)

Exercices : factoriser EN UTILISANT UNE IDENTITÉ REMARQUABLE Solution: la bonne identités remarquables est : a²+2 ab+b² =(a + b) ² +3² la bonne identités remarquables est : a²-2 ab+b² =(a - b) ² +5² On a: a²-b²= (a+b) (a-b)

Factorisation Des factorisations AVEC UNE IDENTITÉ REMARQUABLE Exemple 4: Factoriser : Solution: la bonne identités remarquables est : a 3 + 3 a²b + 3 ab² + b 3 = ( a + b ) 3 +23 Exemple 5: Factoriser : Solution: la bonne identités remarquables est : a 3 - 3 a²b + 3 ab² - b 3 = ( a - b ) 3 +33

Exemple 6: Factoriser : Solution: la bonne identités remarquables est : a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a² -ab+b² ) Exemple 5: Factoriser : Solution: la bonne identités remarquables est : a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a² +ab+b² )

Exercice : FACTORISER AVEC UNE IDENTITÉ REMARQUABLE 2) (7 x + 4)² – (3 – 2 x) 1) 2 x – 5)² – 64 Solution: (2 x – 5)² – 64 = (2 x – 5)² – 8² = (2 x – 5 + 8)(2 x – 5 – 8) carré de 2 xcarré – 5 de=8 (2 x On reconnaît l’identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b) + 3)(2 x – 13) (7 x + 4)² – (3 – 2 x)² = (7 x + 4)² – (3 – 2 x)² On reconnaît l’identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b) = [(7 x + 4) + (3 – 2 x)][(7 x + 4) – (3 – 2 x)] carré de 7 xcarré + 4 de 3 – 2 x = [7 x + 4 + 3 – 2 x][7 x + 4 – 3 + 2 x] = (5 x + 7)(9 x + 1)

Exercice : FACTORISER AVEC UNE IDENTITÉ REMARQUABLE 2) (7 x + 4)² – (3 – 2 x) 1) (2 x – 5)² – 64 Solution: (2 x – 5)² – 64 = (2 x – 5)² – 8² = (2 x – 5 + 8)(2 x – 5 – 8) carré de 2 xcarré – 5 de=8 (2 x On reconnaît l’identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b) + 3)(2 x – 13) (7 x + 4)² – (3 – 2 x)² = (7 x + 4)² – (3 – 2 x)² On reconnaît l’identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b) = [(7 x + 4) + (3 – 2 x)][(7 x + 4) – (3 – 2 x)] carré de 7 xcarré + 4 de 3 – 2 x = [7 x + 4 + 3 – 2 x][7 x + 4 – 3 + 2 x] = (5 x + 7)(9 x + 1)

Exercice : Développer A = 2 x – (x – 5)² Solution: A = 2 x – [ (x – 5)² Lorsqu’un développement est précédé de –, on rajoute des crochets puis on effectue le développement à l’intérieur des crochets. ] A = 2 x – [ x² – 10 x + 25 A = 2 x – x² + 10 x – 25 A = – x² + 12 x – 25 ] On supprime les crochets précédés de –. Enfin on réduit.

IDENTITÉ REMARQUABLE Application au calcul mental 101² = (100 + 1)² = 10 000+ 200 + 1 = 10 201 99² = (100 – 1)² = 10 000– 200 + 1 Carré = 9 de 801 1 Carré de 100 Double produit Carré de – 14 = 999 996 + 2)(1 000 – 2) = 1 000 Double 1002 × 998 = (1 000 Carré de 100 produit Carré de 1 000 Carré de 2

IDENTITÉ REMARQUABLE Application (Lorsque la calculatrice tombe en panne) Calculer : Solution: On remarque les nombres : 20052006 et 20052005 et 20052007 différent par leurs chiffes des unités Pour simplifier on pose : Donc : Et

3)FACTORISER AVEC UN FACTEUR COMMUN Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit de facteurs. a +kb + b = k( ka ) ka a –kb – b = k( ) k est un facteur commun Exemples : 4 x + 12 = 4 x + 4 × 3 3 =4 ( 7 x² – 9 x = 7 x × x – 9× x = x ( ) 4 est un facteur commun ) x est un facteur commun

Exercice : FACTORISER: A = (2 x + 1)(7 x – 3) + (2 x + 1)(x + 2) B = (5 x – 4)(6 x – 1) – (5 x – 4)(4 x + 4) Solution: (2 x + 1) (7 x – 3) + (2 x + 1)(x + 2) A =(2 x + 1)[ ] On repère le facteur commun: 2 x + 1) A =(2 x + 1)[ 7 x – 3 + x + 2] A =(2 x + 1) ( 8 x – 1 ) B = (5 x – 4)(6 x – 1) – (5 x – 4)(4 x + 4) On repère le facteur B =(5 x – 4) (6 x – 1) – (5 x – 4)(4 x + 4) commun: 5 x - 4) B =(5 x – 4)[ 6 x – 1 – 4 x – 4 B =(5 x – 4)( 2 x – 5 ) ] ]

Exercice : FACTORISER: A = (4 x – 3)² – (x – 8)(4 x – 3) Solution: 1) A = (4 x – 3) – (4 x – 3) (x – 8) A = (4 x – 3)[ ] On repère le facteur commun: 4 x - 3) A = (4 x – 3)[ 4 x – 3 – x + 8] = (4 x – 3) (3 x + 5 ) 2) 3)

Exercice : Factoriser les expressions suivantes 1) 4 x² - 36 2) 4 – 36 x + 81 x² Solution: 4) 9 y² - 36 x² 1) 4 x² - 36 = ( 2 x + 6 ) (2 x – 6 ) 5)1 – 10 x + 25 x² a ² - b² = ( a + b ) ( a – b ) 2) 4 – 36 x + 81 x²= ( 2 – 9 x)² a²-2 ab+b²=(a-b)² 3) x 4 + 20 x² + 100= ( x² + 10 )² a²+2 ab+b²=(a+b)² 4) 9 y² - 36 x² = ( 3 y + 6 x ) ( 3 y - 6 x) 5)1 – 10 x + 25 x²= ( 1 – 5 x )² 6) 9 x 4 + 6 x²y + y²= ( 3 x² + y )² 3) x 4 + 20 x² + 100 6)9 x 4 + 6 x²y + y²