MATEMTICA DISCRETA Y LGICA 1 Prof FERNANDO GERFAUO

MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA 1 Prof. : FERNANDO GERFAUO. TECNÓLOGO EN INFORMÁTICA. Sede: PAYSANDÚ. AÑO 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Conjuntos definidos inductivamente NOCIONES. Una definición inductiva de un conjunto, consiste en dar una serie de reglas que definen al conjunto, a la vez que establecen la forma de construir (o recorrer) sus elementos, a partir de otros que ya pertenecen al conjunto. Existen tres tipos de reglas: Las reglas básicas o cláusulas bases, que son las que indican que ciertos elementos pertenecen al conjunto. Las reglas inductivas o cláusulas inductivas, que son las que establecen que un elemento está en el conjunto si ciertos otros elementos están en el conjunto. La cláusula de clausura, que afirma que ningún elemento pertenece al conjunto, a menos que se pueda construir, aplicando las reglas anteriores, un número finito de veces. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Conjuntos definidos inductivamente EJEMPLOS. Definición inductiva del conjunto de los números naturales. i) Cláusula base: el cero “ 0” es un elemento del conjunto de los números naturales. ii) Cláusula inductiva: si “n” es un elemento del conjunto de los números naturales, entonces el siguiente de “n” también es un número natural. iii) Cláusula de clausura: los únicos elementos del conjunto de los números naturales son aquellos que se pueden construir mediante la aplicación de las cláusulas anteriores, un número finito de veces. Definición inductiva del conjunto de los números enteros. Definición inductiva del conjunto de los números naturales pares. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Lenguajes Un alfabeto es un conjunto ∑ conjunto no vacío, finito o infinito numerable, cuyos elementos se llaman símbolos. Cada secuencia o lista formada por cero o más símbolos del alfabeto ∑ concatenados o yuxtapuestos, se llama palabra sobre el alfabeto ∑. La palabra vacía, que se denota con ε, es la palabra sin símbolos. Cualquier conjunto de palabras sobre el alfabeto ∑, recibe el nombre de lenguaje sobre el alfabeto ∑. Al lenguaje que contiene todas las posibles palabras que se pueden formar con los símbolos del alfabeto ∑ (cero o más símbolos), se lo anota con ∑*. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Lenguajes específicos Existen lenguajes que pueden definirse en forma inductiva y por tanto, ser tratados como conjuntos inductivos. Ejemplo. Sea ∑={a, b, c}. El lenguaje L de las palabras sobre ∑ que comienzan con el símbolo “a” se puede definir inductivamente como sigue: i) Cláusula base: “a” es una palabra del lenguaje L. ii) Cláusulas inductivas: si “α” es una palabra del lenguaje L, entonces también “αa”, “αb” y “αc” son palabras del lenguaje L. iii) Cláusula de clausura: las únicas palabras del lenguaje L son aquellas que se pueden construir aplicando las cláusulas anteriores un número finito de veces. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Pertenencia a un conjunto inductivo Para probar que un elemento pertenece a cierto conjunto definido inductivamente, alcanza con verificar que su secuencia de formación está dada por las cláusulas utilizadas para definir al conjunto. Ejemplo. Sea L el lenguaje de las palabras sobre ∑={a, b, c}, definido en forma inductiva como sigue: i) ε ∈ L y a ∈ L. ii) Si α ∈ L ⇨ bαc ∈ L. iii) C. C. ¿Cuáles de las siguientes palabras pertenecen al lenguaje L y cuáles no? 1) bac 2) bbcc 3) acc 4) bacc 5) bbacc. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Pruebas inductivas Principio de Inducción Primitiva. Sea A un conjunto definido inductivamente. Para demostrar que cierta propiedad P se cumple para todos los elementos de A, alcanza con: Probar que la propiedad P se cumple para los elementos de A definidos en las cláusulas base. Suponiendo que cierto elemento del conjunto A verifica la propiedad P, demostrar que los elementos que se construyen a partir de él, al aplicar las cláusulas inductivas, también cumplen con la propiedad P. Ejemplos. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Pruebas inductivas Observaciones: 1) El principio de inducción primitiva depende del conjunto inductivo sobre el cuál se está aplicando; en particular, depende de las cláusulas base e inductivas que lo definen. 2) El término “primitivo” hace referencia al hecho de que el principio de inducción basa su paso inductivo en el elemento inmediato anterior, según las reglas de definición del conjunto. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Recursión primitiva Sea A un conjunto definido inductivamente. Si la definición inductiva de A es libre, entonces se puede aplicar el siguiente esquema para definir una función cuyo dominio sea el conjunto A: Se define el valor de la función sobre los elementos de A que se presentan en las cláusulas base. Se define el valor de la función sobre los elementos de A construidos aplicando las cláusulas inductivas, utilizando el valor de la función en el elemento inmediato anterior. Cuando se utiliza el esquema anterior para definir una función de dominio A, se dice que la función queda definida por recurrencia (primitiva) o recursivamente. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Recursión primitiva Esquema de recursión primitiva. Ejemplos: • Esquema de recursión primitiva para N. • Esquema de recursión primitiva para ∑*. • Esquema de recursión primitiva para un lenguajes específico L. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Definiciones inductivas libres Una definición inductiva de un conjunto A se dice que es libre, cuando todo elemento del conjunto admite una sola secuencia de formación, es decir, cuando cada elemento del conjunto A se puede construir de manera única a partir de dicha definición. Ejemplos. La definición inductiva del conjunto de los números naturales que vimos en clase, es una definición inductiva libre. Sin embargo, la definición inductiva del conjunto de los números enteros, no es libre. ¿Por qué? Observación: Si la definición inductiva de un conjunto A no es libre, entonces se generan inconvenientes a la hora de definir funciones aplicando el esquema de recursión primitiva. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Recursión No primitiva Sea A un conjunto definido inductivamente, y f: A→B. Cuando se define la función f dando los valores de la misma en los elementos de A que se presentan en las cláusulas base, y una relación de recurrencia entre los valores de la función de un elemento y el de varios elementos anteriores, se está en presencia de un esquema de recursión no primitiva, denominado esquema de recursión general. Ejemplos. Observaciones: No es necesario que la definición inductiva del dominio de f sea libre. Sin embargo, se deben de verificar las siguientes condiciones: • Exhaustividad. • No superposición. • Terminación. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Recursión No primitiva La ventaja del esquema de recursión no primitiva, es que no es necesario que la definición inductiva del dominio de f sea libre. Sin embargo, se debe verificar que el esquema funcione, corroborando que se cumplan las siguientes condiciones: • Exhaustividad. La función debe estar definida en todo su dominio. • No superposición. No pueden coexistir dos valores diferentes de la función para ningún elemento de su dominio. • Terminación. El algoritmo, a través del cual es posible determinar las imágenes de los elementos del dominio de la función, debe tener una cantidad finita de pasos. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Fuentes consultadas: Ø http: //www. fing. edu. uy/inco/cursos/logica/teorico/2011/ 02_11_Induccion. pdf Ø Apuntes teóricos de MDy. L 1, Tecnólogo en Informática, Paysandú, año 2012, Prof. Ignacio Monteverde. Ø Apuntes del curso Métodos Computacionales, IPA, año 2007, Prof. Paula Echenique. Prof. : Fernando Gerfauo Año 2017. -