BCC 101 Matemtica Discreta I Lgica de Predicados

BCC 101 Matemática Discreta I Lógica de Predicados Dedução Natural 1

Regras de Inferência p(y) {y arbitrária} ------{ I} x. p(x) {y pode ser substituída por x em p} x e y são variáveis w é um termo x. p(x) {universo não vazio} --{ E} p(w) {w pode ser substituída por x em p} ------{ I} x. p(x) p(y) |– z {y não é livre em z} ------{ E} z Esta regra provoca descarga de hipótese . . . mais as regras de inferência do cálculo proposicional 2

Variáveis Arbitrárias q Em uma prova, uma variável é arbitrária se ela não ocorre livre em nenhuma hipótese não descartada q Exemplos x. F(x) { E} F(p) p é arbitrária? Sim G(p, q) {∃I} ∃y. G(p, y) p é arbitrária? Não descarregada P(x) Q { EL} P(x) { I} P(x) Q P(x) { I} x. (P(x) Q P(x)) x é arbitrária? Sim 3

Uma Prova fácil - para esquentar. . . usando { I} e { E} Teorema ( comuta) x. y. F(x, y) |– y. x. F(x, y) prova x. p(x) {……. } { E} p(w) x. y. F(x, y) { ok } { E} y. F(p, y) { ok } faz papel de p(x) { E} na regra { E} F(p, q) { p arbitrária } { I} x. F(x, q) { q arbitrária } p(y) {y arb. } { I} y. x. F(x, y) x. p(x) 4

Eliminação do Existencial semelhante a { E} Teorema x. P(x), x. P(x) Q(x) |– x. Q(x) Prova x. P(x) Q(x) { ok } descarga { E} P(y) Q(y) { E} Q(y) { I} x. P(x) x. Q(x) { E} x. Q(x) {y não é livre em x. Q(x)} x. F(x) F(y) |– A {y não é livre em A} { E} A x. Q(x) faz papel de A na regra { E} 5

Uma Prova Incorreta Teorema Ruim x. P(x), x. (P(x) Q(x)) |– x. Q(x) Suposta prova x. (P(x) Q(x)) { E} Problema é aqui P(y) Q(y) { E} Q(y) { I} x. Q(x) x. P(x) { E} x. Q(x) y é livre nessa hipótese Portanto, { I} não é usada de maneira adequada. F(y) {y arbitrária} { I} x. F(x) 6

Quantificador Universal move para fora mas não pode ser movido para dentro Teorema x. y. F(x, y) |– y. x. F(x, y) y. F(x, y) { ok } y. p(y) { …… } { E} F(x, y) { ok } p(w) { I} x. F(x, y) {y arb} { I} y. x. F(x, y) x. y. F(x, y) { E} y. x. F(x, y) p(w) {x é variável nova } { I} x. p(x) |– z {x não livre em z} { E} p(y) {y arb} z { I} 7 x. p(x)

Exercícios q. Prove os seguintes sequentes: § x. P(x) x. Q(x) |– x. P(x) Q(x) § x. P(x) Q(x), x. P(x) |– x. Q(x) 8