MATEMATKSEL ZORLUKLAR VE ZM NERLER RENCLERN KESRLER KONUSUNDAK

MATEMATİKSEL ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ ÖĞRENCİLERİN KESİRLER KONUSUNDAKİ KAVRAM YANILGILARI

ÖĞRENCİLERİN KESİRLER KONUSUNDAKİ KAVRAM YANILGILARI

Kesirler ilköğretim matematik programında tam sayılardan hemen sonra gelir. Bunun önemli bir nedeni günlük hayatta kesirlerin yaygın kullanımıdır. Örneğin ; saat okunmasında (üçe çeyrek var) , bakkal alışverişlerinde (bir tam birde yarım kiloluk yoğurt) , yemek yaparken (iki bardak pirince üç bardak su) ve diğer birçok alanda kesirler günlük hayatımızın içindedir ve biz çocuklarımızın bir an önce bu önemli kavramları öğrenip kullanabilmesini isteriz.

Kesirlerin tam sayılardan farklı önemli özellikleri vardır. Kesirli çoklukların gösteriminde iki sayının birbirine göre ilişkisi ön plandadır. Örneğin; “iki elma” veya “ 4 kilogram şeker” gibi tek rakamlı ifadeler yerine kesirlerde “ 3/4” litre veya “ 3/4” kilometre gibi 3’ün 4’e göre durumunu anlatan yeni bir gösterim yolu kullanılır. Kesirlerin başka bir özelliği de her bir kesir için sonsuz sayıda denk başka kesirlerin olmasıdır. Oysa tam sayılarda her bir sayı tektir.

Kesirler tam sayılara benzer olarak referans aldığı bütüne göre değişik büyüklükleri gösterebilir. Örneğin; bir yarım ekmek diğer bir yarım ekmeğe göre farklı büyüklükte olabilir , çünkü yarımların referans aldıkları bütünler farklı büyüklükte olabilirler.

Kesirlerle işlemler her ne kadar kavramsal olarak tam sayıdakine benzese de işlemsel basamakların sayısı bakımından tam sayılardan farklıdır. Örneğin; işlemsel olarak tam sayılarda çarpma ve bölme toplamadan daha karmaşıktır , ama kesirlerin çarpımı çoğu zaman ortak payda gerekmediği için toplamadan daha az işlem basamağı gerektirir. 492: 12=41 , 1/8. 8/4=1/4 Pozitif tam sayılarda sayılar çarpılınca büyür , bölününce küçülür; kesirlerde ise çarpınca küçülebilir , bölünce de büyüyebilir. 23. 6=138 , 42: 6=7 1/3. 2/5=2/15 , 5/12: 6/24=10/6

Rasyonel sayılar kümesi doğal ve tam sayılardan , onları da kapsadığı için daha büyüktür. Çünkü her doğal ve tam sayı bir kesir olarak yazılabilir. Sekizinci sınıftan itibaren rasyonel sayıların genelleştirilmiş halini ifade eden cebirsel kesirlerle işlemlerde de basit kesirlerin kuralları geçerlidir. Örneğin; 1+ ____1____=0 2 – __3___ x+1 Denklemini sağlayan x değerini bulmak için kesirlerin işlem kuralları uygulanır. İleri matematik konuları olan polinomlar , türev ve integral gibi konularda da cebirsel kesirler sıklıkla kullanılır.

YENİLENEN MÜFREDATTA KESİRLERLE İLGİLİ KAZANIMLAR 2005 te yenilenen ilköğretim matematik müfredatında kesirlerle ilgili kazanımlar 1. sınıftan 8. sınıfa kadar yer almaktadır. Yeni müfredattaki kesirlerle ilgili kazanımlar kesir kavramlarının önemli matematiksel unsurlarını içermektedir. Genel olarak kesirlerle ilgili kavramlar ve beceriler basitten zora sınıf düzeylerine dağıtılmıştır. Ancak kazanımlarda öğretmenlere rehberlik edecek önemli pedagojik araçlar yeterince vurgulanmamıştır. Örneğin; kesirler , paydasındaki sayının rakam sayısına göre sınıflanmıştır. Oysa kesirlerin öğreniminde kavramsal olarak paydadaki rakam sayısından çok kesrin temsil ettiği miktar önemlidir. Örneğin; sıfır , yarım , çeyrek , üçte bir , dörtte üç , bir tam ve bir buçuk diğerlerinden ayrı kavramsal özelliği olan “ölçü” kesirlerdir.

KESİRLERDE KAVRAM YANILGILARI VE NEDENLERİ Kavram yanılgılarının önemli bir kısmının tam sayılarda geçerli olan gözlemlerin öğrencilerce kesirlere genelleştirilmesinden kaynaklandığı görülmüştür. Özenli bir öğretim süreciyle öğrencilerin kesirleri gereken derinlikte anlayıp öğrenmeleri ve bu çeşit genellemelerden doğan kavram yanılgılarının engellenmesi sağlanabilir. Aslında yanılgılarının bir çoğunun kesir öğretimine özeniz yaklaşımlardan kaynaklandığı gözlenmiştir. Sınıfta öğrencilerin deneyimlerine dayanmadan ve temel kavramsal alt yapı geliştirilmeden kesirlerin soyut sembollerle gösterimine erken ve aceleci bir geçişin kavram yanılgılarına yol açtığına dair bulgular vardır.

KESİRLERDE MİKTARIN REFERANS ALINAN BÜTÜNE BAĞLI OLMASI Kesirlerle temsil edilen miktar kesrin referans aldığı bütünün büyüklüğü ile doğrudan ilintilidir. Bir çok öğrenci benzer şekilde aynı sembollerle gösterilen kesirlerin aynı miktarı göstereceğini düşünür. Örneğin; ABD’de dördüncü sınıf öğrencilerinden seçilen ulusal bir örnekleme aşağıdakine benzer bir sorulmuştur. Jale bir pizzanın ½’sini yemiştir. Ayşe’de bir başka pizzanın ½’sini yemiştir. Jale Ayşe’den daha fazla pizza yediğini söylüyor. Ayşe ise yedikleri pizzaların aynı olduğunu iddia ediyor. Kimin dediği doğru olabilir? Açıklayınız. Bu soruya örneklemin sadece dörtte biri Jale’nin pizzasının daha büyük olabileceği yanıtını vermiştir. Bu da kesirlerin ifade ettiği miktarın referans alınan bütüne bağlı olduğu düşüncesinin dördüncü sınıf öğrencilerinin önemli bir kısmında henüz gelişmediğini göstermektedir.

Kesri temsil eden miktarın , referans alınan bütünle ilgili olduğu kavramının gelişmesi için öğrencilerin somut malzemeler kullanarak değişik büyüklükteki bütünlere referans verebileceğini görmeleri gerekmektedir. 1/2

KESİRLERDE KISIMLARA AYIRMA Bütünün parçalarını ifade eden kesirdeki temel fikirlerden biri de bütünün eş parçalara bölünmesidir. Örneğin; biz bir pastayı beş parçaya bölüp , ikisini alıyorsak bunu 2/5 şeklinde ifade ederiz ve bütünün beş parçasının da eşit olmasını bekleriz. Ancak bu öğrencilerde gelişimi kendiliğinden olmayan , öğretmenlerin özellikle dikkat etmesi gereken bir konudur. Bir çok öğrenci 2/5’i gösteren bir şekil çizmesi istendiğinde aşağıdaki modelleri çizebilmektedir. Bu kavram yanılgısının nedeni kesirler öğretilirken sembollerin kavramsal altyapısı oluşturulmadan sembollerle gösterimin öğretilmesidir.

KESİRLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Öğrencilerin kesir büyüklüklerini karşılaştırması hakkında yapılan araştırmalar birçok öğrencinin verilen iki kesirden rakamları büyük olanının diğerine göre büyük olduğunu düşündüğünü ortaya koymuştur. Örneğin; “ 6/9 ve 2/3 kesirlerinden hangisi büyüktür? ” diye sorulduğunda bir çok öğrencinin “ 6/9 , 2/3 den büyüktür , çünkü 6 , 2 den , 9 da 3 ten büyüktür” diye düşündüğü ortaya çıkmıştır. Benzer düşünme şekilleri daha büyük sınıflarda cebirsel kesirlerde de gözlenmiştir. Örneğin; 4 x-16/4 ifadesi 6 x-24/6 ifadesinden büyük müdür , küçük müdür , veya bu iki ifade eşit midir diye sorulduğunda bir çok öğrenci ikinci kesrin büyük olduğunu belirtmişlerdir. Bu kavram yanılgısının önlenmesi için kesir öğretiminde eşdeğerli kesirlerin (örneğin 1/2 , 2/4 , 3/6) temsil ettiği miktarların aynı olduğu somut ve resimsel malzemeler kullanılarak sınıfta gösterilmelidir.

Bir başka yanılgı da sadece paydadaki rakama odaklanmaktadır. Örneğin öğrencilerden aşağıdaki beş kesri küçükten büyüğe sıralaması istendiğinde paydalardaki sayıların büyüklüğünün ters sırasına göre sıralamışlardır. 1/2 3/8 5/16 5/8 1/4 Öğrenci yanıtı 5/16 3/8 5/8 1/4 ½ Paylar sabitken paydaların büyümesi bir kesri küçültür , ama bu öğrenciler kesrin büyüklüğünü pay ve payda ilişkisinde aramak yerine sadece bir bileşene odaklanmışlardır. Bu kavram yanılgısının giderilmesi için de somut ve resimsel malzemeler kullanılarak kesirlerin gösterdiği miktarların iyice anlaşılması gerekmektedir.

BİLEŞİK KESİRLERDE BİRİMİN BELİRLENEMEMESİ Bileşik kesirler tam sayı ve küsurlu bileşenleri olan kesirlerdir. Örneğin bir uzunluğu ifade için biz 7 3/10 cm kesrini kullanırız veya 7 kilo 300 gram’lık bir ağırlığı 7 3/10 kg şeklinde gösteririz. Burada 7 tane birim uzunluk veya ağırlık tekrar ederken yanına 3/10 birimlik bir uzunluk veya ağırlık ta eklenmiştir. Bazı öğrencilerin bu çeşit bileşik kesirlerde tekrar eden birimleri görmekte zorlandıkları ortaya çıkmıştır. Özellikle rakamsal olarak verilmiş bir bileşik kesrin sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi istendiğinde öğrencilerin zorlandığı gözlenmiştir. 0 6 1/3 0 2/3 6 1/9 2/9 3/9 4/9 5/9 6/9 7/9 8/9 9/9

Örneğin; Öğrencilere 7 ½ cm uzunlukta kaç tane ½ birimlik uzunluk olduğu sorulabilir. Cevap 7 x 2+1=15’tir. Çünkü her birimde 2 yarım birimlik uzunluk vardır. Aynı şekilde öğrencilere 7 ½ cm uzunlukta kaç tane ¼ birimlik uzunluk olduğu sorulabilir. Öğrenciler bunun 7 x 4+2=30 olacağını görecektir , çünkü her birimde 4 çeyrek , bir yarımda da 2 çeyrek vardır. Öğrencilerin çeyreklerle tekrar birimleştirmeyi görsel olarak sayı doğrusunda göstermeleri önemlidir. Şekilde 9/4 kesrinin tekrar birimleştirme yolu ile gösterimi verilmiştir. 0 1 2 3 4 5 6 7 7 ½ 0/4 4/4 8/4 9/4

HATALI KESİR TOPLAMI : 5/6 + ½ =6/8 “Perihan’ın doğum gününde bütün arkadaşları geleceğinden Perihan’ın annesi iki pasta almıştır. Doğum gününde birinci pastanın 5/6’sı , ikinci pastanın ise 1/2’si yenmiştir. Perihan’ın doğum gününde arkadaşlarına ikram edilen pasta miktarı ne kadardır? ” 5/6 1/2 3/6 Ortak paydaların bulunması Sonuç: 1 tam, 2/6 (8/6)

ÇARPMANIN KESİRLERE ETKİSİ: Tam sayılarda çarpma çarpılan sayıları büyültür , kesirlerde de büyütmelidir. 3 x 4 ifadesi 4+4+4 anlamına da gelir. Bu işlemin sonucu 12’dir ve 12 hem 3’ten hem de 4’ten büyüktür. Tam sayılarda çarpma işleminin sonucu çarpılanlardan büyükse , kesirlerde sonucun çarpılandan küçük çıkabiliyor olmasını bir çok öğrenci anlayamamaktadır. Yukarıdaki örnekte 3 x 4 (. . . . +. . ) şeklinde gösterilebiliyorsa , üç tane dörtlü , veya dörtlü bir grubun üçlüsü diye de ifade edilebilir. Benzer şekilde 5/6 x 3/4‘te 5/6 çarpı 3/4 veya 3/4’ün 5/6’sı diye de okunabilir. 3/4 x 5/6 3/4

BÖLMENİN KESİRLERE ETKİSİ: Kesirlerde bölme bir çok öğrencinin , hatta yetişkinin bile kolaylıkla anlayamadığı bir konudur. Pozitif tam sayılarda bölmenin sonucu her zaman bölünenden küçüktür. Örneğin; 8: 2’nin sonucu 4’tür. Bu işlemi şekillerle. . +. . gösterebiliriz. Tam sayılarda bölme tekrarlı çıkarma şeklinde de düşünülebilir. Yani , 8: 2 işlemi aslında “ 2’yi 8’den kaç defa çıkarabilirim? ” anlamına da gelir. “ali işine her gün motosikleti ile gidip gelmektedir. Motosikleti 1 3/z litre benzinle doluyor. Motosiklet bir günde gidiş geliş 1/2 litre benzin yakıyorsa , bir dolu depo benzin ile Ali kaç gün işe gidebilir? ” 1 Birinci 1/2 ikinci 1/2 üçüncü 1/2 yarımın yarısı 3/4

KESRİN YARISI NASIL ELDE EDİLİR: 1/2’ye bölerek mi , yoksa 2’ye bölerek mi? “Ayça ile Tuğçe buzdolabında akşamdan 3/4’ü kalan bir pastayı eşit olarak paylaşmak istemiş ve pastayı yarıya bölmüşlerdir. Ayça’nın payına düşen pasta ne kadardır? ” Öğrenciler yaygın olarak 3/4 : 1/2 = 3/4 x 2/1 = 6/4 = 1 2/4 = 1 ½ cevabını verebilmektedir. Buradaki doğru işlem 3/4 : 2 = 3/4 x 1/2 = 3/8’dir. Bu bölme işleminde bölümün bölünenden iki tam defa çıkarılabileceği vurgulamalıdır.

KESRİN ÖĞRETİM MODELLERİ Bütün-parça Bölüm Oran İşlemci Ölçü

BÜTÜN-PARÇA

BÖLÜM Kesirlerin ikinci anlamı olan bölüm daha çok paylaşma durumlarında ortaya çıkar. Bir miktar çokluk belli sayıda kişilere veya şeylere paylaştırılacaktır. Örneğin; ‘üç yuvarlak kek bir doğum gününde 12 çocuğa nasıl paylaştırılır’ diye sorulduğunda kesirlerin bu anlamı ön plana çıkar. Keklerin paylaştırma için bölünmesi aşağıdaki şekildeki gibidir.

ORAN Solak öğrenciler Solak olmayan öğrenciler

İŞLEMCİ

Buraya kadar incelediğimiz kesirlerin anlamları şekildeki gibi özetleyelim Parça-bütün/ Parçalara Ayırma Oran İşlemci Denk kesirler Bölüm Çarpım Ölçü Toplam

KESİR GÖSTERİMLERİ Kesirlerin somut modellerle gösteriminde dört değişik yol vardır. Bunlar, bölge, çizgi, küme ve alan gösterimleridir. BÖLGE MODELİ Bölge gösteriminde daire, dikdörtgen ve üçgen gibi basit geometrik şekiller kullanılır ve bu şekiller parça-bütün anlamına karşılık gelecek şekilde eşit parçalara bölünür ve seçilen kısımlar ayrılarak kesir gösterilir.

ÇİZGİ MODELİ Burada bir çizgi üzerinde önce tam birimin başı ve sonu belirlendikten sonra kesrin içerdiği parça sayısına eşit olarak bölünüp istenen sayıdaki kısmı işaretlenerek ayırt edilir. Örneğin; aşağıdaki şekilde çizgi modelde bir bütün üçe bölünmüş ve birisi alınmıştır. Bu gösterim yolu kesirlerin ölçü anlamında oldukça kullanışlı bir model olarak öne çıkmaktadır. 0 1

KÜME MODELİ Kesirler ayrıca küme modeli ile de gösterilebilir. Aşağıdaki şekilde bir grup nesne bütünü temsil eden bir kümeyi oluşturmakta, bu kümenin bazı elamanları diğerlerinden ayrı özellikleri nedeniyle kesir gösteriminde kullanılmaktadır.

ALAN MODELİ Kavramsal olarak bu model diğerlerinden daha karmaşık olup öğrenciler diğer modelleri rahatlıkla kullanılabilir olgunluğa geldikten sonra öğretilmelidir.

DENK KESİRLER Kesirleri anlamanın önemli bir boyutu da değişik kesirler arasındaki denklik ilişkilerini anlamaktır. a/b şeklinde verilen bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa veya aynı sayıya bölünürse (0 hariç) yeni ve denk bir kesir elde edilir. Denk kesirler toplama ve çıkarmada kesirleri karşılaştırırken kullanılır. Denk kesirlerin neden denk olduğunu açıklamanın bir yolu da aşağıdaki şekillerdeki gibi somut modeller kullanmaktır. İlk dikdörtgen dikey olarak üçe bölünerek bir kısmı boyandığından 1/3 kesrini göstermektedir. Aynı dikdörtgen yatay olarak ta üçe bölünürse 9 eş parça oluşacaktır. Bu 9 parçadan 3’ü renkli olduğundan 1/3 ve 3/9 kesirleri aynı miktarı göstermektedir ve denk kesirlerdir. Aynı şekilde dikdörtgen yatay olarak 4’e bölünürse birbirine eş 12 bölge oluşacaktır. Bu 12 bölgenin 4’ü renkli olduğundan 1/3 , 3/9 ve 4/12’nin aynı miktarı gösterdiği, dolayısıyla denk kesirler olduğu açıktır.

KESİR ÖĞRETİMİNDE GENEL BİR MODEL Bu kısımda kesirlerin parça-bütün anlamı için sıralı bir öğretim modeli önerilecektir. Kesirlerin parça-bütün yorumu diğerleri için de temel teşkil ettiğinden önem taşımaktadır. Bu öğretim modeli aşağıdaki 6 basamaktan oluşmaktadır. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Basamak: Parçalara ayırma Basamak: Adlandırma Basamak: Sayısal semboller Basamak: Görsel modeller Basamak: Modellerin çeşitlenmesi

Parçalara ayırma işlemi amaçsız bir alıştırma etkinliğinden çok gerçekçi bir problem bağlamında verilirse daha etkilidir. Burada vurgulanması gereken bütünden ayrılan parçaların eşit büyüklükte olmasıdır. Örneğin, öğrenciler aşağıda verilen şekillerden hangisinin ‘doğru’ bölümü gösterdiğini ayırt edebilmelidirler. Eşit parçalara ayırmanın doğru ve doğru olmayan örnekleri

Burada önemli olan, öğrencilerin kesirleri değişik yollarla esnek bir şekilde ifade edebilme becerilerinin gelişmesidir. Temel olarak üç değişik anlatım yolu olduğunu düşünürsek, öğrencilerin bu üçü arasında rahatlıkla geçiş yapabilmeleri önemlidir. Üçü arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. model Söz ‘üçte iki’ Kesir öğretiminde ‘altın üçgen’

Öğrenciler, kesir bir modelle verildiğinde, bu kesri sözle okuyabilmeli (veya yazabilmeli) , ve sembolle gösterebilmelidir. Öğretim modelindeki beşinci basamak resmini çizebilmektir. Verilen bir kesrin şekille ifadesi kesirleri öğrenmek için önemli bir araçtır. Model çiziminde öğrenciler çizimi ve parçalara bölümü kolay olduğundan dikdörtgeni tercih edebilirler. Ancak diğer geometrik şekiller de kullanılmalıdır. Bu etkinlik öğrencinin kesir anlayışının ne kadar sağlıklı olup olmadığı konusunda öğretmene bir fikir de verecektir. Örneğin aşağıdaki şekilde verilen iki değişik öğrencinin çizdiği modelden hangi sonuçları çıkarabilirsiniz? Oğuz’un Ayşe’nin

Daha sonra aynı kağıt aşağıdaki şekil gibi yatay olarak katlanırsa bütün 6 eşit parçaya bölünmüş olur. Öğrenciler bunun modelini de defterlerine çizmelidirler.

Bu basit etkinlik öğrencilere kesir denklikleri konusunda oldukça önemli bir kavramsal temel kazandırabilir. Bu aşamada ayrıca kesir karşılaştırmaları için kesir şeritlerinden de faydalanılabilir. Kesir şeritleri tek boyutu bölünerek 1’den küçük değişik kesirlerin elde edildiği ve gösterilebildiği bir malzemedir. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi kesir şeritleri her iki gösterim yolunu da birleştirerek (model ve semboller) kesirlerin büyüklüklerini karşılaştırmaya imkan verir. Bu görsel karşılaştırma daha sonra rakam kullanılarak ortak paydayla ifade edilerek bulunan sonuçlarla ilişkilendirilmelidir.

0⁄1 1⁄1 0⁄2 1⁄2 2⁄2 0⁄3 1⁄3 2⁄3 3⁄3 0⁄4 1⁄4 2⁄4 3⁄4 4⁄4 0⁄6 1⁄6 2⁄6 3⁄6 4⁄6 5⁄6 6⁄6 0⁄8 1⁄8 2⁄8 3⁄8 4⁄8 5⁄8 6⁄8 7⁄8 8⁄8 0⁄9 1⁄9 2⁄9 3⁄9 4⁄9 5⁄9 6⁄9 7⁄9 8⁄9 9⁄9 Kesir şeritleri kullanarak kesirleri karşılaştırmak

SONUÇLAR Kesirler ilköğretim matematik müfredatının kavramsal olarak zengin ve günlük hayatta geniş kullanımı olan bir konusudur. Yüzdeler, orantı, olasılık ve ölçme gibi başka bir çok konu da içinde geçtiğinden, iyi anlaşılması bu konuda kavram yanılgılarını önleyecek, öğrencilerin genel matematik başarısına da katkı sağlayacaktır.

HAZIRLAYANLAR Ø İBRAHİM HALİL ÇAKMAK Ø DAVUT YALÇINKAYA Ø YETER DÜZOVA Ø ÜNAL ONUK Ø YUNUS EMRE TEMEL