DP SMPLEKS ZM YNTEM 1 Matematiksel Programlama MATEMATKSEL

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 1 Matematiksel Programlama MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA DOĞRUSAL PROGRAMLAMA SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 2 Matematiksel Programlama DP Simpleks Çözüm Yöntemi Grafikle çözümün uygulanamadığı çok değişkenli doğrusal programlama problemlerinin çözümünde yaygın biçimde kullanılan yöntem simpleks yöntemidir. George B. Dantzig tarafından geliştirilen bu yöntem tekrarlı bir yöntem olduğundan simpleks algoritma olarak da adlandırılmaktadır. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 3 Matematiksel Programlama Kanonik Ve Standart Biçimler Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 4 Matematiksel Programlama Standart ve Kanonik Biçim Dönüştürme İşlemleri 1. En iyilemenin anlamını değiştirme Zenb = C 1 x 1 + C 2 x 2 +. . . + Cnxn olarak tanımlanmışken, = ( Zenb ) = C 1 x 1 C 2 x 2 . . . Cnxn veya Zenk = C 1 x 1 + C 2 x 2 +. . . + Cnxn olarak verilmişken, = ( Zenk) = C 1 x 1 C 2 x 2 . . . Cnxn yazılabilir. Örnek olması bakımından amaç fonksiyonunun aşağıdaki gibi formüle edildiğini düşünelim. Zenk = 3 x 1 4 x 2 + 2 x 3 5 x 4 Amaç fonksiyonundaki tüm terimlerin işaretlerinin değiştirilmesiyle amaç fonksi yonu aşağıdaki gibi yazılabilir. = ( Zenk) = 3 x 1 + 4 x 2 2 x 3 + 5 x 4 Dönüştürme işlemi, karar değişkenlerinin en iyi değerlerini değiştirmez. Problemi çözdükten sonra amaç fonksiyonunun en iyi değeri ( 1) ile çarpılırsa orijinal problemin Zenk ( Zenb) değeri bulunur. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 5 Matematiksel Programlama Dönüştürme İşlemleri-devam 2. Eşitsizliklerin yönünü değiştirme: Herhangi bir eşitsizliğin her iki tarafı ( 1) ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir. Sözgelimi, a 11 x 1 + a 12 x 2 ³ b 1 ile her iki tarafının ( 1) ile çarpılmasıyla elde edilen a 11 x 1 a 12 x 2 £ b 1 birbirlerine eşittir. Benzer biçimde, a 11 x 1 + a 12 x 2 £ b 1 yerine a 11 x 1 a 12 x 2 ³ b 1 yazılabilir. 3. Eşitliği eşitsizliğe dönüştürme: Eşitlik biçimindeki bir kısıtlayıcı fonksiyon iki eşitsizlikle açıklanabilir. Örneğin, a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 biçimindeki bir fonksiyon yerine, a 11 x 1 + a 12 x 2 ³ b 1 ve a 11 x 1 + a 12 x 2 £ b 1 veya a 11 x 1 + a 12 x 2 £ b ve a 11 x 1 a 12 x 2 £ b 1 yazılabilir. 4. İşareti sınırlandırılmamış değişkenler: İşareti sınırlandırılmamış bir değişken (pozitif, negatif veya sıfır) negatif olmayan iki değişken arasındaki fark olarak açıklanabilir. Sözgelimi, x işareti sınırlandırılmamış bir değişken ise, x yerine (x+ x ) kullanılabilir. Burada, x+ ³ 0 ve x ³ 0’dır. Negatif olmayan x+ ve x değişkenlerinden en fazla biri en iyi çözümde pozitif değerli olur. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 6 Matematiksel Programlama Dönüştürme İşlemleri-devam Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 7 Matematiksel Programlama Dönüştürme İşlemleri-devam Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 8 Matematiksel Programlama Örnek 4. 1 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 9 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 1. a- Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 10 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 1. b- Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 11 Matematiksel Programlama Simpleks Çözüm Yönteminin Açıklanması Aşağıdaki gibi bir modelin olduğunu varsayalım. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 12 Matematiksel Programlama Simpleks Çözüm Yönteminin Açıklanması-devam Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 13 Matematiksel Programlama Standart Biçimin Matris Gösterimi Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 14 Matematiksel Programlama Başlangıç Çözüm Tablosu Standart biçimin oluşturulmasından sonra en iyi çözümün araştırılması işlemine geçilebilir. Simpleks yöntemin ardışık tekrarları başlangıç çözüm tablosu adı verilen bir tablonun düzenlenmesinden sonra başlar. Başlangıç çözüm tablosu, aşağıdaki tablo esasına göre düzenlenir. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 15 Matematiksel Programlama Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 16 Matematiksel Programlama Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 17 Matematiksel Programlama Anahtar Sütun: Simpleks yönteminde, temeli terkeden değişkenin bulunduğu satıra anahtar satır denir. Anahtar satır: Simpleks yönteminde, temeli terkeden değişkenin bulunduğu satıra anahtar satır denir. Anahtar Sayı: Anahtar sütun ile anahtar satırın kesiştiği gözedeki değere anahtar sayı denir. Temele girecek değişkenin yeni değerlerinin hesaplanması: (Anahtar Satır Değerleri/Anahtar Sayı) Diğer Satır Değerlerinin Değerleri: Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 18 Matematiksel Programlama Örnek 4. 2: Bir sanayii işletmesi bakır, alüminyum ve çinko metallerinin farklı alaşımlarını kullanarak A ve B gibi iki çeşit ürün üretmektedir. İşletmenin elinde 20 ton bakır, 30 ton alüminyum ve 40 ton çinko vardır. Bir birim A ve birim B’nin üretiminde kullanılan bakır, alüminyum ve çinko miktarları (ton) ile A ve B’nin biriminden elde edilen karlar (TL) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Bu bilgileri ve tablodaki verileri kullanarak problemin doğrusal programlama modelini kurunuz ve işletmenin karını en büyükleyen üretim miktarlarını simpleks yöntemle bulunuz. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 19 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 2 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 20 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 2 Bu durumda Z = 15, amaç fonk siyonu için bulunabilecek en büyük değerdir. Bu çözümde x 1 = 0, x 2 = 5, x 3 = 0, x 4 = 25, x 5 = 35’dir. Bu durumda, işletme B’den 5 birim üretirken A’dan hiç üretmeyecek, böylece en yüksek kârı 15 TL olacaktır. Aylak değişkenlerin en iyi çözümdeki değerleri x 3 = 0, x 4 = 25, x 5 = 35’dir. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 21 Matematiksel Programlama Örnek 4. 3 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 22 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 3 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 23 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 3 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 24 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 3 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 25 Matematiksel Programlama Örnek 4. 4 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 26 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 4 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 27 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 4 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 28 Matematiksel Programlama Örnek 4. 5 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 29 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 5 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ 30 Matematiksel Programlama Enküçükleme Problemleri Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP SİMPLEKS ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 31 Matematiksel Programlama Çözüm 4. 6 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK