lments de Calcul Tensoriel l I Les Tenseurs

Éléments de Calcul Tensoriel l. I Les Tenseurs l II Les Opérateurs Différentiels J. C. Charmet © 2002

I Les Tenseurs l I-1 l I-2 l I-3 l I-4 l I-5 Définition des Tenseurs Opérations sur les Tenseurs Symétrie et Antisymétrie Tenseurs Identité et d’Antisymétrie Produits Scalaire et Vectoriel

I-1 Définition des Tenseur : Opérateur liant dans un même repère deux grandeurs physiques en un même point d’un espace de dimension d u Ses composantes dans un repère donné M v ne dépendent que du M = u = T(M) v Le Rang d’un tenseur caractérise son nombre d’indices T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d 0 =1 composante T(M) T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d 1 composantes Ti(M) T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d 2 composantes Tij(M) T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes Tij…n(M)

I-2 Opérations sur les Tenseurs Addition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang C(n) = A(n) + B(n) Cij…n = Aij…n + Bij…n Produit tensoriel ( ) Cij…n…n+m = Aij…n Bij…m C(n+m) = A(n) B(m) Produit Contracté (·) sur l’indice k C(n+m-2) = A(n) · Cij…n+m-2 = B(m) d S Aij…k. . . n Bij…k…m k=1 La contraction peut s’effectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contracté résultant Convention des indices muets Un indice de contraction, indice répété dit muet, implique la sommation sur l’ensemble des valeurs {1…d} prises par cet indice C(2) = A(2) · B(2) 3 Cij = S Aik. Bkj = Ai 1 B 1 j + Ai 2 B 2 j + Ai 2 B 3 j k=1

I-3 Symétrie et Antisymétrie Symétrie par rapport au couple d’indices l, r C(t) symétrique {l, r} C(t) antisymétrique {l, r} Cij…l…r…t = Cij…r…l. . . t Cij…l…r…t = -Cij…r…l. . . t Symétrie complète le couple d’indices a, b {1. . t} C(t) symétrie complète C(t) antisymétrique complète Cij…a…b…t = Cij…b…a. . . t Cij…a…b…t = (-1)PCij…b…a. . . t P étant la parité de la permutation {ij…a…b…t} {ij…b…a…t} Exemple : {1. 2… 4. 5. 6. 7… 9} {1. 2… 7. 5. 4. 6… 9} Paire P = 0 modulo 2 {1. 2… 4. 5. 6. 7… 9} {1. 2… 6. 7. 5. 4… 9} Impaire P = 1 modulo 2 Les propriétés de Symétrie et d’Antisymétrie sont intrinsèques Elles se conservent par changement de repère

I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie Tenseur Identité d(2) = Tenseur d’Antisymétrie e(3) 1 0 0 0 1 eijk = 1 si {i, j, k} permutation paire du groupe {1, 2, 3} eijk = -1 si {i, j, k} permutation impaire du groupe {1, 2, 3} eijk = 0 si au moins 2 indices égaux dij = 1 si i = j dij = 0 si i j le repère d(6) = e(3) a pour composantes : dijkpqr = Det dip diq dir djp djq djr dkp dkq dkr dijkpqr = dip(djqdkr-djrdkq)-djp(diqdkr-dirdkq)+dkp(diq djr-dirdjq) d(4) Contraction {i, p} d d dijkiqr = djkqr = eijkeiqr = djqdkr-djrdkq = Det djq djr kq kr d(2) Contraction {i, p} {j, q} dijkijr = djkjr = eijkeijr = 2 dkr d(0) Contraction {i, p} {j, q} {k, r} dijkijk = djkjk = eijk = 2 dkk = 6 Det(T(2)) = 1 eijkepqr. Tip. Tjq. Tkr 6

I-5 Produits Scalaire et Vectoriel Produit Tensoriel de deux Vecteurs u 1 u = u 2 u 3 v 1 v = v 2 v 3 C(2) = u v = Produit Scalaire de deux Vecteurs u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3 u · v = ukvk = Ckk = Tr( u v ) Produit Extérieur de deux Vecteurs 0 u 1 v 2 -u 2 v 1 u 1 v 3 -u 3 v 1 0 u 2 v 3 -u 3 v 2 P(2) = u v - v u = u 2 v 1 -u 1 v 2 u 3 v 1 -u 1 v 3 u 3 v 2 -u 2 v 3 0 Produit Vectoriel de deux Vecteurs w=u v = u 2 v 3 – u 3 v 2 u 3 v 1 – u 1 v 3 u 2 v 1 – u 1 v 2 Cij = uivj w 1 P 23 w = w 2 = P 31 w 3 P 21 = C(2) - t. C(2) w = u v = e(3) · ·{u v } wi = eijk. Cjk

II Les Opérateurs Différentiels l l l II-1 II-2 II-3 II-4 II-5 Le Gradient La Divergence Le Rotationnel d’un Vecteur Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2 Le Laplacien

II-1 Le Gradient d’un Scalaire f(x) Gradient d’un Vecteur u(x) df =Gradf·dx Gradf = du =Gradu·dx f x 1 f x 2 f x 3 u 1 x 1 u 2 Grad u = x 1 u 3 x 1 Gradient d’un Tenseur de Rang 2 T(2)(x) Gijk = Grad(3)T (2) = u 1 x 2 u 2 x 2 u 3 x 2 u 1 x 3 u 2 x 3 u 3 x 2 d. T (2) =Grad(3)T (2) ·dx Tij xk

II-2 La Divergence uk u 1 u 2 u 3 Divu = = + + xk x 1 x 2 x 3 Divergence d’un Vecteur u(x) Divergences d’un tenseur de Rang 2 T(2)(x) Divergences des Vecteurs Ligne Div. DT (2) = Tij xj = T 11 T 12 + + x 1 x 2 T 21 T 22 + + x 1 x 2 T 31 T 32 + + x 1 x 2 Div. DT(2) = Div. Gt. T(2) Div. GT(2) = Div. Dt. T(2) T 13 x 3 T 23 x 3 T 33 x 3 Divergences des Vecteurs Colonne Div. GT (2) = Tij xi = T 11 T 21 + + x 1 x 2 T 12 T 22 + + x 1 x 2 T 13 T 23 + + x 1 x 2 T 31 x 3 T 32 x 3 T 33 x 3 T(2) = t. T(2) symétrie Div. DT(2) = Div. GT(2)

II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur x 1 = x 2 x 3 Opérateur Nabla et Gradient u 1 u = u 2 u 3 t. Grad u = Div u = ·u = Tr( u ) = Tr(Grad u ) Divergence Tenseur Rotationnel 0 Rot u = t. Grad Pseudo Vecteur Rotationnel Rot u = u u 1 x 1 u 1 x 2 u 1 x 3 = u 3 x 2 u 1 x 3 u 1 x 2 - u 2 x 3 u 3 x 1 u 2 x 1 u - Grad u = u 1 x 2 u 1 x 3 - u 2 x 1 u 3 x 1 u 2 x 1 - u 1 x 2 0 u 2 x 3 u 3 - x 2 Rot u = e(3) · ·{Gradu } [Rot u ]i = eijk uk xj u 2 x 1 u 2 x 2 u 2 x 3 u 3 x 1 u 3 x 2 u 3 x 3 u 3 x 1 u 3 x 2 u 1 x 3 u 2 x 3 0

II-4 Rotationnels d’un Tenseur Gradient d’un tenseur de Rang 2 T (2)(x) F= Grad(3)T(2) Fijk = (2) T Tij xk Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang 2 T(2)(x) Rotationnels des Vecteurs Ligne == Rot. D T T 13 x 2 T 23 x 2 T 33 x 2 - T 12 x 3 T 22 x 3 T 32 x 3 [Rot. D T=]lk = ekij T 11 T 13 x 3 - x 1 T 23 x 3 - x 1 T 33 x 3 - x 1 t. Rot Tlj xi T 12 T 11 x 1 - x 2 T 21 x 1 - x 2 T 31 x 1 - x 2 T = Rot. Gt. T D t. Rot T = Rot. Dt. T G Rotationnels des Vecteurs Colonne == Rot. G T T 31 x 2 T 11 x 3 T 21 x 1 - T 21 x 3 T 31 x 1 T 11 x 2 [Rot. GT=]kl = ekij T 32 T 22 x 2 - x 3 T 12 T 32 x 3 - x 1 T 22 T 12 x 1 - x 2 Tjl xi T 33 T 23 x 2 - x 3 T 13 T 33 x 3 - x 1 T 23 T 13 x 1 - x 2 T = t. T symétrie Rot. DT = t. Rot. GT

II-4 Le Laplacien d’un Scalaire f(x) Df =Div(Gradf) 2 f 2 f + + Df =Div(Gradf) = xk xk = x 12 x 22 x 32 2 u 1 + + 2 2 x x x 32 1 2 2 ui 2 2 2 D u = Div. D( Gradu ) = x x = u 2 + + k k x 12 x 22 x 32 2 u 3 Laplacien d’un Vecteur u(x) Laplacien et Rotationnel [Rot u ]k = eklm um xl [Rot (Rot u)]i =eijk x 12 + x 22 + x 32 Rot (Rot u ) = Grad(Div u ) - D u 2 2 ui 2 uj e um =(d d -d d ) um =[Grad(Divu )]i -[D u ]i = il jm im jl klm xj xl xj x 1 xi xj xj xj