Chapitre 1 Notions sur les tenseurs CHAPITRE I

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- CHAPITRE I NOTIONS SUR LES TENSEURS 1. Introduction La définition d'un tenseur d'ordre quelconque peut être facilement comprise lorsqu'on aura défini un tenseur du second ordre. Ouvrage : Mécanique des milieux continus Editeur : Publibook (Paris) http: //www. publibook. com Professeur Amar Kifani 1

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- 2. Définition d'un tenseur du second ordre 2. 1 – Préliminaire Professeur Amar Kifani 2

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- On peut écrire : (1) ai, bi, ci, sont des constantes et ( i= 1, 2, 3 ) Professeur Amar Kifani 3

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Les expressions (1) peuvent s'écrire sous forme matricielle de la façon suivante : Professeur Amar Kifani 4

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Pour traduire que les composantes d’un vecteur sont des combinaisons linéaires des composantes d’un autre vecteur, nous avons besoin de 9 scalaires ai, bi, ci, l’indice i prenant les valeurs 1, 2, 3. Professeur Amar Kifani 5

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Les 9 scalaires ai, bi, ci, sont les composantes d’un tenseur du second ordre 2. 2 – Définition d’un tenseur du second ordre Un tenseur du second ordre est un opérateur linéaire L qui fait correspondre à un vecteur de l’espace euclidien un vecteur de ce même espace euclidien, soit : Professeur Amar Kifani 6

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- 3. Convention de l'indice muet Lorsqu'un indice est répété 2 fois dans un même monôme, ce monôme doit être remplacé par la somme de tous les termes obtenus en donnant à cet indice les valeurs 1, 2, 3 dans ce monôme. Cet indice est dit muet. Ainsi, lorsqu’on écrit le monôme , l’indice i étant répété 2 fois, c’est donc un indice muet, on doit donc effectuer une sommation en donnant à l’indice i les valeurs 1, 2, 3. Professeur Amar Kifani 7

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Lorsqu’un indice n’existe qu’une fois dans un monôme, cet indice est dit franc, il n’impose pas de sommation. Dans le monôme , l’indice (i) n’existe qu’une fois, il est dit franc, par contre l’indice (j) existe 2 fois, il est dit muet. L’indice franc n’existe qu’une fois. On s’impose à lui. L’indice muet existe 2 fois. Il s’impose à nous. Professeur Amar Kifani 8

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Dans l’expression , nous pouvons décider de donner à l’indice franc (i) soit la valeur 1 si on cherche à connaître B 1, soit, 2 pour B 2, soit 3 pour B 3. peut donc s’écrire : B 1 = L 1 j. Aj = L 11 A 2+L 12 A 2+L 13 A 3 B 2 = L 2 j. Aj = L 21 A 1+L 22 A 2+L 23 A 3 B 3 = L 3 j. Aj = L 31 A 1+L 32 A 2+L 33 A 3 Dans l’indice (i) désigne la ligne (c’est aussi l’indice franc) l’indice (j) désigne la colonne (c’est aussi l’indice muet) Professeur Amar Kifani 9

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- L’écriture précédente peut s’écrire sous forme matricielle de la manière suivante : Professeur Amar Kifani 10

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- 4. Commentaires sur le tenseur du second ordre Cette expression exprime une relation linéaire entre 2 vecteurs Professeur Amar Kifani 11

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Les composantes d’un vecteur sont désignées par un seul indice. On sait qu’un vecteur possède 3 composantes. Le vecteur est donc un tenseur d’ordre 1 (un indice) et le nombre de ses composantes est 31. L’exposant désigne le nombre d’indices des composantes (ici 1). On peut déjà prévoir la généralisation qui va suivre Professeur Amar Kifani 12

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Ordre du tenseur nbre d’indices 1 ou vecteur (1) 31 = 3 2 ( tenseur d’ordre 2 ) (2) 32 = 9 3 ( tenseur d’ordre 3 ) (3) 33 = 27 n ( tenseur d’ordre n ) (n) 3 n = 3 n Professeur Amar Kifani Nbre de composantes 13

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Tous les changements de lettres sont permis pour un indice muet et c’est pour cette raison qu’on l’appelle indice muet. Ainsi, on peut écrire : Ai. Bi =Am. Bm = An. Bn =-------Les lettres choisies pour désigner les indices francs et les indices muets doivent être différentes Bi = Lij. Aj peut s’écrire Bm = Lmn. An Professeur Amar Kifani 14

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Remarque importante On ne devra jamais trouver plus de 2 fois le même indice dans le même monôme : Exemples : Lij. Aj est une écriture juste ( j n’est répété que 2 fois ) Lii. Ai est une écriture fausse (car la lettre i est répété 3 fois) Professeur Amar Kifani 15

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Professeur Amar Kifani 16

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Tenseur d’ordre 3 : (voir ouvrage page 14) Un tenseur d’ordre 3 est un opérateur linéaire qui associe à un tenseur d’ordre 1 (ou vecteur) un tenseur d’ordre 2. Tijk : composantes du tenseur d’ordre 3 Lij : composantes du tenseur d’ordre 2 Ak : composantes du tenseur d’ordre 1 (ou vecteur) Lij = Tijk. Ak Professeur Amar Kifani 17

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- 5. Détermination d'un tenseur du second ordre : L'espace euclidien que nous considérons étant de dimensions trois, le caractère linéaire de L permet d'énoncer : - Un tenseur du second ordre L est déterminé de façon unique si l'on connaît les valeurs prises par L pour trois vecteurs linéairement indépendants. En effet, si on se donne trois vecteurs linéairement indépendants, et si le tenseur du second ordre L (Lij) leur fait correspondre respectivement les vecteurs Professeur Amar Kifani comme suit : 18

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Di =Lij. Aj est un système de 3 équations à 9 inconnues Lij Ei = Lij. Bj est un système de 3 équations à 9 inconnues Lij Fi = Lij Cj est un système de 3 équations à 9 inconnues Lij Nous avons donc 9 équations à 9 inconnues Lij , ce qui permet de déterminer Lij Professeur Amar Kifani 19

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Ainsi, un tenseur du second ordre L(Lij ) est déterminé de manière unique, si on connaît les valeurs prises par étant des vecteurs linéairement indépendants. Professeur Amar Kifani 20

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Tenseur unité du second ordre On appelle tenseur unité du second ordre l'opérateur identité I qui, à tout vecteur fait correspondre ce même vecteur . Les composantes de ce tenseur sont donc déterminées ainsi : (5) La relation (5) indique : Professeur Amar Kifani 21

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- 7. Produit tensoriel de deux vecteurs et tenseur du second ordre. Le produit tensoriel des vecteurs est le tenseur du second ordre Professeur Amar Kifani et , noté tel que : 22

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Ainsi, le produit tensoriel de deux vecteurs (ou tenseurs du premier ordre) est un tenseur du second ordre Tenseur du 2ème ordre L Professeur Amar Kifani Produit tensoriel des vecteurs et 23

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- 8. Propriétés du produit tensoriel de deux vecteurs a) associativité b) distributivité à droite c) distributivité à gauche Professeur Amar Kifani 24

En effet : Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- a ) associativité Professeur Amar Kifani 25

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- b) Distributivité à droite Professeur Amar Kifani 26

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- A l’aide de ce qui précède, on peut exprimer le produit tensoriel des vecteurs fonction des produits tensoriels , noté en des vecteurs de base. Professeur Amar Kifani 27

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- 9. Opérations sur les tenseurs L=0 L=T si si Lij = 0 Lij =Tij L=P+T si Lij = Pij + Tij L=a. P si Professeur Amar Kifani Lij = a Pij 28

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Nous avons aussi les quatre propriétés suivantes pour l'addition: (L + P) + F = L + ( P + F ) associativité L +P=P+L commutativité L +0=L élément neutre L + L' = 0 Professeur Amar Kifani alors L' est l’opposé de L et il est noté L' = - L 29

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- Pour l'opération multiplication par un nombre, nous avons les quatre propriétés suivantes : (ab) L = a (b L) associativité (a + b ) L = a. L + b. L a(L+P)=a. L+a. P distributivité 1 x. L=L Professeur Amar Kifani élément numérique neutre a = 1 30

Chapitre 1 –Notions sur les tenseurs ------------------------- 10. Généralisation : tenseur d'ordre quelconque La notion de tenseur du second ordre apparaît comme une généralisation de la notion de vecteur. Un tenseur d'ordre 2 est un opérateur linéaire qui associe à un tenseur d'ordre 1 (ou vecteur). Ouvrage : Mécanique des milieux continus Editeur : Publibook (Paris) http: //www. publibook. com Professeur Amar Kifani 31