La transformada de Fourier Asociacin EURATOMCIEMAT Para Fusin

La transformada de Fourier Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • La transformada de Fourier es: • Su inversa: • El factor (1/2 p) puede estar en la transformada ó en la inversa. • También ambas pueden tener un factor √ (1/2 p). Definiciones alternativas • Es la herramienta básica del análisis de datos. • Se puede entender como la proyección del vector (la señal) sobre la base orthonormal formada por las oscilaciones elementales. • Las integrales van hacia el infinito. Si la señal es periódica con período T, se puede calcular la integral sobre el intervalo [0, T].

La transformada de Fourier: discretización de frecuencias Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • Si la señal x(t) es periódica con periodo T, entonces se podrá representar como: • (serie trigonométrica general) • Por tanto, el espaciado entre las frecuencias, wk = 2 pk/T, es: 2 p/T. • De ahí, mientras T no sea infinito, la señal consiste de una suma de frecuencias discretas wk (¡incluso sin discretización de x(t)!).

La transformada de Fourier: versión discreta Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • Para una señal periódica con periodo T. • Si medimos x(t) en una serie de instantes temporales tj, equidistantes, la transformada se puede reescribir, poniendo tj = j. D, xj = x(tj), w = wk = 2 pk/T: • T = ND, asi que: • Esta es la transformada de Fourier discreta.

Propiedades de la transformada discreta Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • Para una señal de N puntos, la transformada tiene N/2 valores independientes (complejos, i. e. senos y cosenos) • Por tanto, la información está conservada. • La transformada es lineal y 1: 1, y su inversa es exacta. • Si D es el intervalo de muestreo, entonces: • La distancia entre frecuencias es 1/ND. • La frecuencia máxima es 1/2 D (para frecuencias más altas se repiten los valores de la transformada, y ya no contienen información independiente). • La frecuencia 1/2 D se conoce como la frecuencia de Nyquist.

La transformada de Fourier discreta: la práctica Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • Se inventó un algoritmo rápido para evaluar la transformada discreta en 1965: la FFT (tiempo de cálculo: ~ N log N). • El algoritmo es del tipo piramidal: la transformada de una secuencia de N puntos se puede escribir como la suma de dos transformadas de N/2 puntos cada una, y así sucesivamente. • Aquí sólo mencionaremos algunos problemas de este tipo de algoritmos en la práctica. • La transformada discreta sólo funciona correctamente con señales periódicas. Por tanto, ¡la señal experimental típica no es apta para ser analizada con la FFT! Solución: aplicar una “función ventana” a la señal, o eliminar el “trend” (deriva lineal).

Corregir señales antes del análisis espectral Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • Una señal no-periódica produce muchas altas frecuencias en la FFT, debido a la discontinuidad. • Posibles correcciones: • Mediante función ventana, p. ej. (1+cos(ax)) • Mediante “trend removal” Trend

Corregir señales antes del análisis espectral Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • Siempre es recomendable restar el promedio de la señal antes del análisis: esto evita un pico enorme a frecuencia cero, que puede deformar las estimaciones de las frecuencias bajas. • Además de la ventana mencionada (coseno) hay muchas más (tapering windows). Si se aplica una ventana, se debe corregir la amplitud de los estimados espectrales obtenidos por la integral de la función ventana. • Las ventanas y/o la correción de “trends” son sólo dos ejemplos del tratamiento general previo análisis conocido como “pre-whitening”. La idea es aplicar un tratamiento (bien conocido) a la señal de tal forma que todas las frecuencias tengan la misma amplitud. La razón de esto es que el error de un estimado de frecuencia es proporcional a la amplitud (ver más adelante), así que un pico grande en el espectro sube el error espectral promedio. Después de calcular el espectro se puede “deshacer” el tratamiento inicial para obtener el espectro de la señal original.

Aliasing Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • Es el problema más importante en la práctica. • Ejemplo: señal de frecuencia 6, muestreado con frecuencia 9 • Frecuencia de Nyquist: f. Nyq = 9/2 = 4. 5 • La frecuencia de 6 aparece como f. Nyq – (6– f. Nyq ) = 4. 5– 1. 5 = 3 • Único remedio: filtrar antes de muestrear digitalmente.

Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión Aliasing • Relación entre frecuencias espúreas y observadas: 0 f. Nyq frecuencia (Repetición simétrica respecto a cero) Repeticiones f. Muest + f. Nyq

El espectro Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • El espectro de una señal x(t) es: • El espectro cruzado de 2 señales x(t) e y(t) es: • Lo que es exactamente igual a la transformada de Fourier de la función de correlación R(t): (siempre que las señales x e y sean periódicas; en tal caso se denomina a la función de correlación: función de correlación circular) • La función de correlación contiene la misma información que el espectro. • Esto proporciona un método más eficaz para calcular la correlación (a través de la FFT).

Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión La función de correlación • La función de correlación circular para señales finitas de longitud N es sólo una aproximación de la función de correlación para las señales “reales” (es decir, sin la limitación a N puntos) • En realidad, la función de correlación circular Rc(k) para un retraso k es una mezcla de R(k) y R(k-N). N = 10 k = -7 k=3

Interpretación del espectro Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • Ya que el espectro es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación, esto implica que el espectro es sólo una aproximación del espectro “verdadero” (i. e. de la señal con N ). • De hecho, es posible estimarlo: • Es decir, la transformada de Fourier de la función de correlación circular Rc(t) está relacionada con la transformada de Fourier de la correlación “verdadera” R(t) por una ventana de peso W(t) = (T-|t|)/T.

Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión Ventana espectral • Así que, debido al hecho que trabajamos con señales de longitud finita (N < ), obtenemos un estimado del espectro. • La ventana espectral es • En otras palabras, el espectro estimado es un suavizado del espectro real; pero como la ventana (en el espacio de frecuencias) es muy estrecha, normalmente se puede pasar por alto este detalle. -6 p/T -2 p/T w 6 p/T

Error en el espectro Asociación EURATOM-CIEMAT Para Fusión • No es posible definir un error en los valores espectrales obtenidos en el caso general • Para el caso particular de una señal Gaussiana se obtiene: • Esto es la varianza del estimado espectral de una señal con longitud T, medido con una resolución espectral Dw (= 2 p/T en caso de la FFT sin más filtros). • Este error es muy grande, por tanto hay que reducirlo promediando varios espectros si se quiere un estimado preciso. • NOTA: En la práctica es lo mismo dividir una señal de M puntos en (M/N) secciones de N puntos y calcular el promedio de los (M/N) espectros, y calcular el espectro de M puntos y promediar sobre (M/N) estimados espectrales adyacentes. • En ambos casos, el error se reduce con un factor √(M/N) (estadística Gaussiana)