Korraprase nelinurkse pramiidi klgserva ja phja vaheline nurk

Korrapärase nelinurkse püramiidi külgserva ja põhja vaheline nurk © T. Lepikult, 2003

Ülesanne Korrapärase nelinurkse püramiidi ühist serva omavate külgtahkude vaheline kahetahuline nurk on a ( a > 90°). Avaldage külgserva ja põhja vaheline nurk. H. Uudelepp, A. Lõhmus, “Eksaminandile matemaatika riigieksamist 2003”, lk 69, ül. 6.

Ülesande joonis. Püramiidi põhi. 1) Korrapärase nelinurkse püramiidi põhi on ruut. D Ruudu küljed on võrdsed: C AB = BC = CD = DA = a, Ruudu sisenurgad on täisnurgad: Ruudu diagonaalid poolitavad teineteist ja on teineteise suhtes risti: AC BD, O A OA = OC = OB = OD Täisnurksest kolmnurgst ABC võime avaldada ruudu diagonaali küljepikkuse a kaudu: Perspektiivplaanis paistab ruut rööpkülikuna. B

Nelinurkne korrapärane püramiid S 1) Püramiidi põhi (ruut perspektiivplaanis); 2) Püramiidi tipu projektsioon põhjale asub ruudu diagonaalide lõikepunktis E D 3) Külgtahkudevahelise nurga a joonisele kandmiseks lõikame püramiidi tasandiga, millel asub põhja diagonaal AC ja mis on risti külgservaga BS. C O A 3) Selle tasandi lõikepunkti servaga BS tähistame tähega E. 4) Tasandi ja püramiidi lõige on võrdhaarne kolmnurk AEC. AE = EC, kuna kolmnurgad ABE ja BCE on võrdsed. B

Külgtahkude vaheline nurk 5) Lõikeks oleva kolmnurga nurk AEC ongi kahetahuline nurk püramiidi naaberkülgtahkude vahel kuna punktis E lõikuvad sirged EA ja EC kuuluvad kumbki eri tahule ja nad on risti tahkude lõikesirgega BS: S D a EA BS, EC BS Lisame joonisele veel püramiidi diagonaallõike: põhja diagonaali DB ja kõrgust OS sisaldava tasandi. Diagonaallõikeks on kolmnurk DBS. E C O A B Kuna põhja diagonaal AC ristub punktis O teise diagonaaliga DB ja püramiidi kõrgusega OS ning mõlemad viimatinimetatud sirged asuvad tasandil DBS, siis saab järeldada, et AC on risti selle tasandiga ning samuti iga sellel tasandil asuva sirgega.

Külgserva ja põhja vaheline nurk S Kuna diagonaallõige DBS on risti püramiidi põhjaga ning lõikesirgeks on DB, siis otsitav nurk külgserva DB ja põhja vahel on E D Tasandite AEC ja DBS lõikesirge on OE. Tasand AEC on risti sirgega BS, seetõttu EB EO a O A ja kolmnurk OEB on täisnurkne kolmnurk, millest (1) C b B

Külgserva ja põhja vaheline nurk (II) S Teisest küljest kuulub sirge EO ka diagonaallõike tasandile DBS ning on risti põhja diagonaaliga AC. EO AC E Täisnurksest kolmnurgast EOC on teada ka üks teravnurk OEC, kuna võrdhaarse kolmnurga tipunurgast E tõmmatud aluse ristsirge (kõrgus) EO on ühtlasi nurgapoolitajaks: D O A Täisnurksest kolmnurgast EOC tuleneb seos = OC = OB a/2 = Seose (1) tõttu a/2 C b B

Külgserva ja põhja vaheline nurk (III) Saime trigonomeetrilise võrrandi otsitava nurga b suhtes: Tingimuse 90° < a < 180° tõttu ei tule arvesse “”-märgiga juur. Avaldame saadud trigonomeetrilisest põhivõrrandist b ja saame vastuseks: