Vektorid Vektorid Matemaatikas fsikas jt loodusteadustes vaadeldavad suurused

Vektorid

Vektorid Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed (neid iseloomustab kindel arv) pikkus vanus mass vektoriaalsed (neid iseloomustab lisaks arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) kiirus kiirendus jõud

Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori pikkust märgitakse sümboliga või a.

Vektori koordinaadid Kui on antud vektori alguspunkt A (x 1; y 1; z 1) ja lõpp-punkt B(x 2; y 2; z 2), siis vektori koordinaatide leidmiseks lahutame lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, s. t. Näide Leida vektori Lahendus koordinaadid, kui A (-1; -2; 1) ja B(4; -6; 2).

Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist kus X , Y ja Z on vektori koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori Lahendus pikkuse.

Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse Ø kolmnurgareeglit Ø rööpkülikureeglit Ø hulknurgareeglit

Kolmnurgareegel Kahe vektori ja summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori ning siis selle lõpp-punktist B vektori. Ühendades punktid A ja C, saame vektori B C A

Rööpkülikureegel Kui joonestame liidetavad vektorid ja ühisest alguspunktist A, siis neile vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaalvektor alguspunktiga A on vektorite ja summa. A

Hulknurgareegel Mitme vektori summa leidmiseks joonestame mingist punktist A ühe liidetava; selle lõpp-punktist teise liidetava; viimase lõpppunktist kolmanda jne. Nende vektorite summaks on siis punktist A viimase liidetava lõpp-punkti B suunduv vektor A B

Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist.

Vektori korrutamine arvuga Vektori ja positiivese arvu k korrutiseks samasuunaline vektor, mille pikkus on Vektori vektori on vektoriga ja negatiivse arvu -k (k > 0) korrutiseks nimetatakse vastandvektorit

Tehted vektoritega koordinaatides Olgu antud vektorid Näide Olgu antud siis

Vektorite skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s. t. kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaarkorrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist

Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2; 0; -1), B (-3; 1; 1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. Leiame kõigepealt vektorid ja nende vektorite pikkused on vastavalt

Vektorite skalaarkorrutis Vektorite Ja seega ning ja skalaarkorrutis avaldub

Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine. Vektorite ja kollineaarsust tähistatakse sümboliga Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s. t. kui siis

Kollineaarsed vektorid Näide 1 Vektorid on kollineaarsed, sest Näide 2 Vektorid ei ole kollineaarsed, sest

Kollineaarsed vektorid Näide 3 Vektorid on kollineaarsed, sest ja seega need vektorid asuvad paralleelsetel siregetel.