Vektorid I Vektor tasandil Vektori miste Vektori pikkus

Vektorid.

I Vektor tasandil. Vektori mõiste. Vektori pikkus ja koordinaadid. Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted. § Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus. § Siht näitab, kuidas vektor asetseb, § Suund kummale poole on vektor suunatud. § Pikkus on vektori arvväärtuseks. § Vektoreid võib tähistada nende algus- ja lõpp -punkti abil, näiteks AB, kus A on vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt. § Vektoreid võib tähistada ka ladina väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted. § Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis seda tähistatakse nii: a b. § Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite vastavad koordinaadid on seega võrdelised. § Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis seda tähistatakse nii: a b. § Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis seda tähistatakse nii: a b.

Vektori koordinaadid. § Kui on antud vektori alguspunkt A ( x 1 ; y 1 ) ja lõpp-punkt B ( x 2 ; y 2 ), siis vektori AB koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori koordinaadid tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu. Kui A ( x 1 ; y 1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) , siis AB = ( x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ).

Vektori pikkuse leidmine. |a|= a § Kui meil on teada vektori koordinaadid, saame leida selle pikkuse Pythagorase teoreemi järgi (jälgi joonist), vaadeldes koordinaate kaateteina. § NB! Pikkus on skalaar. y Y X 2 + Y 2. X x

Tehted vektoritega. § Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. § Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse. a + b = ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) ning a – b = ( x 1 – x 2 ; y 1 – y 2 ).

Vektorite liitmine. a +d a+b+c § Vektorite matemaatilisel liitmisel nende vektorite vastavad koordinaadid liidetakse. § Vektorite geomeetrilisel liitmisel asetatakse vektorid nii, et iga eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise algusega. Summavektor kulgeb esimese algusest viimase lõpp-punkti. c d b

Vektorite lahutamine. a a b- § Vektorite matemaatilisel lahutamisel lahutatakse teise vektori koordinaadid vastavatest esimese vektori koordinaatidest. § Vektorite geomeetrilisel lahutamisel asetatakse vektorid nii, et nende alguspunktid ühtivad. Vahevektor kulgeb teise vektori lõpp-punktist esimese vektori lõpp-punkti. § Vektori lahutamine tähendab vastandvektori liitmist. b

Vektori korrutamine arvuga. § Kui vektorit a korrutada arvuga k, korrutub vektori pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k. § Kui arv k > 0, jääb vektori suund samaks, kui k < 0, muutub vektori suund vastupidiseks. § Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame tulemuseks nullvektori, mida tähistatakse 0. -½·a -a 2·a a ½·a

Vektorite skalaarkorrutis. § Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. § Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a · b = | a | · | b | · cos α või a · b = x 1 · x 2 + y 1 · y 2.

Vektorite skalaarkorrutis. § Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub, et kui vektorid on risti, on nende skalaarkorrutis null (kuna koosinus täisnurgast on võrdne nulliga). § Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis. Punkt ruumis. Vektor ruumis. Kohavektor. Tehted vektoritega. Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis. § Punkti paigutamiseks ruumi ei piisa enam kahest teljest, tuleb lisada kolmas, z-telg. § Nüüd kirjeldab punkti asukohta järjestatud arvukolmik: ( X ; Y ; Z ). § Teljestik jaotab ruumi kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja xy-tasandiks. z yz xz X Z Y xy x y

Punkt ruumis. § Kui üks punkti koordinaatidest on null: § Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil, § Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil, § Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil. § Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid: § Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel, § Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel, § Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel. § Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis. § Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde. § Vektori korrutamisel skalaariga ja skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida täpselt samamoodi kui tasandil. |a|= X 2 + Y 2 + Z 2 , a + b = ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ; z 1 + z 2 ) , a – b = ( x 1 – x 2 ; y 1 – y 2 ; z 1 – z 2 ).

§ Skalaarkorrutise abil saab leida ka ühe vektori skalaarset ristprojektsiooni teise vektori sihil. § Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese vektori pikkuse jagatisega. u Skalaarne ristprojektsioon. pruv = ( u · v ) : | u | v

Ühikvektorid. § Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k. § Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma koordinaatide ja vastavate ühikvektorite korrutiste summana.

Punkti kohavektor. § Valime teljestikul mingi punkti P ( x 1 ; y 1 ; z 1 ). Vektor, mis moodustub koordinaatide alguspunkti ja punkti P vahel, on punkti P kohavektor. § Punkti kohavektori koordinaadid on võrdsed selle punkti koordinaatidega. z P Q x y

Vektorite komplanaarsus. § Vektoreid, mis asuvad ühel ja samal tasandil või paralleelsetel tasanditel, nimetatakse komplanaarseteks. § Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks, s. t. vektorid kuuluvad samasse rihti. § Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud kolmerealine determinant on võrdne nulliga, on need vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu. § Ruumi iga vektori saab avaldada kolme mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu. § Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed. § Koostada ja lahendada võrrandisüsteem: k+ k+ k+ m+ m+ m+ n= n= n= s u v w = = ( ( 2 1 4 7 ; ; 4 2 5 8 ; ; 6 3 6 9 ) ) § Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks. § Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis. § Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on järgmised omadused: § Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga. § Tema siht on risti mõlema vektori sihiga. § Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi reegliga. § Tegurite järjekorra muutumisel muutub vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis. § Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks: z axb a x b = |a|·|b|·sinα b i j a k a x b = ax a y a z bx b y b z x y

Aitäh! Julius Juurmaa