Jihoesk univerzita v eskch Budjovicch Pedagogick fakulta Katedra

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval: Jan HAMERNÍK M – TVT / ZŠ 3. r o č n í k Kvadratické funkce

Kvadratická funkce Příklad 1: Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší. hospodářská budova výběh x x 18 – 2 x

Řešení: Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku x metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2 x) metrů. Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18– 2 x). x Sestavíme si tabulku: x (18 – 2 x). x 1 2 3 4 5 6 7 8 16 28 36 40 40 36 28 16

Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic O x y Obrázek zřetelně ukazuje na symetrické rozložení bodů podle přímky rovnoběžné s osou y a vedené bodem [4, 5; 0]. Odtud se dá usoudit, že hodnota výrazu (18 – 2 x). x je maximální pro x = 4, 5.

Je tomu ale skutečně tak? Upravíme výraz (18 – 2 x). x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: (18 – 2 x). x = – 2 x 2 + 18 x = – 2(x 2 – 9 x + 4, 52 – 4, 52) = = – 2(x 2 – 9 x + 4, 52) + 2. 4, 52 = – 2(x – 4, 5) 2 + 40, 5 Výraz – 2(x – 4, 5) 2 + 40, 5 má maximální hodnotu pro x = 4, 5, a to 40, 5. Pro každé x 4, 5 je totiž – 2(x – 4, 5) 2 < 0, a tedy – 2(x – 4, 5) 2 + 40, 5 < 40, 5 O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4, 5 metru.

Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj. o definičním oboru R), daná ve tvaru y = ax 2 + bx + c, kde a R – {0}, b, c R

Příklad č. 2: Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí v = 50 m. s-1. Určete, jaké největší výšky dosáhne. (Užijte vzorec ; g = 10 m. s-2.

Řešení: Použijeme výše uvedený vzorec: Dále využijeme zadané g = 10 m. s-2 Zbývá nám tedy spočítat proměnnou t. Dosadíme do vzorce: Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m

Příklad č. 3: Výkon P turbíny závisí na počtu n otáček za sekundu. Určete počet otáček, pro něž bude výkon maximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem P = n - n 2, kde = 0, 455 43 m 2. kg. s– 2, = 0, 455 43 m 2. kg. s-1.

Příklad č. 4: Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany a cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy; b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.

Grafy kvadratických funkcí

Uvažujme kvadratickou funkci g: y = x 2 Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech – 3; – 2; – 1; – 0, 5; 0; 0, 5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné Oxy.

Obr. 1 Obr. 2

Grafem kvadratické funkce y = x 2 je nepřerušovaná křivka, která se nazývá parabola. Z obrázku lze usoudit, že funkce y = x 2 má tyto vlastnosti: jejím oborem hodnot je interval 0, + ; funkce je v intervalu ; 0 klesající, v intervalu 0, + rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.

Příklad č. 1: Na obrázku je graf funkce h 1: něho graf funkce h 2: Obr. 3 . Sestrojte pomocí.

Řešení: Pro každé x R je h 2(x) = h 1(x) – 3; např. pro x = – 2 je Ke grafu funkce h 2 dospějeme tedy od grafu funkce h 1 posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy y.

Obr. 4

Příklad č. 2: Sestrojte graf funkce h 3: , a to opět využitím grafu funkce h 1: Řešení: Pro každé x R je h 3(x – 1) = h 1(x); např. pro x = 3 je Jestliže funkce h 1 nabývá nějakou hodnotu v bodě x, nabývá tutéž hodnotu funkce h 3 v bodě x – 1 Graf funkce h 3 získáme z grafu funkce h 1 posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy x. Graf funkce h 1.

Obr. 5

Příklad č. 3: Sestrojte graf funkce h 5: . Řešení: Nejdříve upravíme výraz na druhou mocninu dvojčlenu. doplněním

Obr. 6

Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí y = ax 2 + bx + c? 1. Upravíme nejprve výraz ax 2 + bx + c doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: 2. Sestrojíme graf funkce f 1: y = ax 2. 3. Sestrojíme graf funkce

a to z grafu funkce f 1 pomocí posunutí o jednotek ve směru osy x, přičemž pro > 0 jde o posunutí ve směru záporné poloosy x, pro < 0 o posunutí ve směru kladné poloosy x, pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy x),

ao jednotek ve směru osy x, přičemž pro > 0 jde o posunutí ve směru kladné poloosy y, pro < 0 o posunutí ve směru záporné poloosy y, pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose x, (tj. posunutí“ ve směru osy y, „nulové

Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y. Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí y = ax 2 + bx + c v závislosti na hodnotách a. Funkce y = ax 2 + bx + c (a 0)

Obr. 7 a>0 Oborem hodnot je. Je rostoucí v . Je klesající v . Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě minimum. má

Obr. 8 a<0 Oborem hodnot je. Je rostoucí v . Je klesající v . Je shora omezená, není zdola omezená. V bodě maximum. má

Příklad č. 3: Načrtněte grafy těchto funkcí: a) y = x 2 – 2 x + 3 b) y = – x 2 – 6 x – 8 c) y = – 2 x 2 + 5 x – 1 d) y = – 0, 5 x 2 + x + 2 e) y =

Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic

Příklad č. 1: Řešte nerovnici x R s neznámou Řešení: Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar:

Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici x 1 = – 3, x 2 = 2

Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce má v nějakém bodě maximum (koeficient u x 2 je – 1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“. Obr. 9

Příklad č. 2: Řešte nerovnici s neznámou x R Řešení: Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v R žádné řešení. Nejsme ve slepé uličce?

Graf kvadratické funkce nemá s osou x žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna x R. Obr. 10

Příklad č. 3: S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou x R. a) x 2 – 5 x + 6 0 b) 2 x 2 – 5 x + 2 < 0 c) – 2 x 2 + 6 x – 9 0 d) x 2 – 2 x + 3 < 0