Il modello di Solow 1956 Solow R 1956

Il modello di Solow (1956) Solow R. (1956). “A contribution to theory of economic growth” Quarterly Journal of Economics, 70, 65 -94. • L’instabilità nel modello di Harrod-Domar dipende crucialmente dall’ipotesi di proporzioni fisse nella F. di P. (v fisso) • E’ sufficiente consentire una certa sostituibilità fra fattori perché i risultati circa l’instabilità cambino radicalmente

Mod. di Harrod Mod di Solow 1) Yt = min{K/v ; L/λ} 1) Yt = F(Kt, Lt) 2) St = s Yt 3) d. Kt/dt = It –δKt 4) 1/L d. Lt/dt = n 5) St = It

Il modello è estremamente semplificato, omette del tutto caratteristiche ovvie del Mondo reale, alcune delle quali sicuramente importanti per la crescita Ma lo scopo del modello no è il realismo. Il modello è una parabola che vuole far luce su caratteristiche particolari del mondo reale Se le ipotesi semplificatrici fanno si che il modello dia risposte sbagliate alle domande a cui vuole rispondere, allora la mancanza di realismo è un difetto Ma se il modello risponde in maniere corretta alle domande per cui è pensato , la “mancanza di realismo” è una virtù: isolando l’effetto di interesse più chiaramente, la semplificazione lo rende più comprensibile.

Mod. di Solow: F. di P. in forma intensiva • Ipotesi: la F presenta rendimenti di scala costanti: F(c. Kt, c. Lt) = c. F(Kt, Lt) ( l’economia ha esaurito tutti i possibili guadagni derivanti dalla specializzazione. Input diversi da quelli considerati sono poco importanti) • E’ quindi possibile esprimere la F. di P. in forma intensiva, dividendo tutto per Lt: Yt/Lt = F (Kt/Lt, 1) ovvero 1’) yt = f(kt) (la scala dell’economia non conta: y dipenda solo da k e non dalle dimensioni complessive dell’economia) Dinamica di yt? Dipende dalla dinamica di kt.

Dinamica di kt • dkt/dt = d/dt (Kt/Lt) =[Ltd. Kt/dt –Ktd. Lt/dt]/Lt 2 sostituendo le espressioni 2, 3, 4 e 5, e data la 1’ otteniamo: dkt/dt = sf(kt) – (n+δ)kt Soluzione di tale equazione dinamica è il sentiero temporale di kt (da cui deriviamo il sentiero dinamico di yt)

Dinamica di kt dkt/dt = sf(kt) – (n+δ)kt • Se sf(kt) > (n+δ)kt, kt cresce (dkt/dt>0) • Se sf(kt) < (n+δ)kt, kt decresce (dkt/dt<0) • Se sf(kt) = (n+δ)kt, kt costante (dkt/dt=0) equilibrio di stato stazionario (crescita bilanciata =0)

Ipotesi neoclassiche sulla f 1) f(0) = 0 2) f ‘> 0 (produttività marginale del cap. positiva) 3) f ‘‘< 0 (produttività marginale decrescente) e Condizioni di INADA 4) limk→ 0 f ‘=∞ 5) limk→ ∞ f ‘=0 Esempio: F. di P. Cobb-Douglas: f(kt) =ktα , 0>α<1

Stabilità dell’equilibrio di stato stazionario Con tali ipotesi sulla f: • Esiste un UNICO equilibrio di stato stazionario, in cui kt = k* per ogni t • Tale equilibrio di stato stazionario, k*, è STABILE (kt raggiunge k* qualsiasi sia k 0)

Esistenza e stabilità dell’equilibrio dipendono dalle ipotesi sulla f • Se non tiene l’ipotesi 3 non è garantita l’unicità dell’equilibrio, nè la stabilità dei vari equilibri possibili. • Se non tengono le condizioni di INADA può non esistere un equilibrio di stato stazionario

Proprietà dello stato stazionario: Crescita Bilanciata • k è costante (tasso di crescita pari a 0) • y è costante • K cresce al tasso n • Y cresce al tasso n → Il sistema converge al tasso di crescita naturale di Harrod (tasso di crescita garantito è pari al tasso di crescita naturale!) • Il sentiero di crescita bilanciata nel modello è coerente con i maggiori “fatti stilizzati” della crescita (Kaldor (1961); nella gran parte delle economie industrializzate nell’ultimo secolo, i tassi di crescita di L, K, e Y sono stati grosso modo costanti, e che i tassi di crescita di K e Y sono stati trosso modo uguali (rapporto K/Y costante)

Dinamica di transizione Tasso di crescita di k: gk = (1/kt)dkt/dt = [sf(kt)/kt] – (n+ δ) k converge a k* a tassi di crescita decrescenti. (v. figura) gy= gk f’(k)(k/y) = gk (PMa. K/Pme. K) nel caso Cobb-Douglas: gy= α gk y converge a y* a tassi di crescita decrescenti

Livelli di stato stazionario con funzione di produzione Cobb-Douglas • Se y = kα • k*→ s kα = (n+d) k k* = [s/(n+d)]1/(1 -α) • y* = [s/(n+g)] α /(1 -α)

Effetti di variazione del tasso di risparmio (s) (vedi grafici) Un aumento del tasso di risparmio s: • Aumenta permanentemente il livello di k* e y*. • Aumenta i tassi di crescita di k e y solo temporaneamente, durante la dinamica di transizione verso il nuovo stato stazionario (Quando il sistema raggiunge il nuovo equilibrio il tasso di crescita di k e y è tornato a 0)

L’accumulazione incide sul livello di produttività • Variazioni del tasso di risparmio (del ritmo dell’accumulazione) modificano permanentemente il livello di produttività di stato stazionario Ma • Non hanno effetti permanenti sul tasso di crescita della produttività.

Effetti di un aumento di s sul livello di consumo in stato stazionario • Se s aumenta, che cosa accade al livello di consumo pro capite in stato stazionario (c*) ? • c* = f(k*)-sf(k*)= f(k*) -(n+ δ)k*) con f(k*) = f(s, n, δ) ∂c*/∂s = [f’(k*(s, n, , δ))-(n+ δ)] ∂k*/ ∂s ∂c*/∂s>0 se f’(k*)>n+ δ ∂c*/∂s<0 se f’(k*)<n+ δ ∂c*/∂s=0 se f’(k*)=n+ δ

Regola aurea dell’accumulazione • Se f’(k*)=n+ δ e ∂c*/∂s=0 il consumo di stato stazionario è al livello massimo possibile sul sentiero di crescita bilanciata • Il livello di k* tale che f’(k*)=n+g+ δ definisce la “regola aurea” dell’accumulazione.

Quanto incide il tasso di risparmio? calibrazioni • y*=[s/(n+δ)]α/(1 -α) • ln(y*) = [α/(1 -α)] ln(s) – [α/(1 -α)]ln(n+g+δ) • Elasticità di y* a variazioni di s: dln(y*)/dln(s) = α/(1 -α) • Che cos’è α? Data la forma della f. di p. , α è la quota di reddito che va a remunerare il capitale. La quota del capitale nella maggior parte delle economie si aggira attorno a 1/3. • Quindi l’elasticità di y* a variazioni di s potrebbe aggirarsi attorno a (0, 333/(1 -0, 333))= 0, 499 ovvero circa 0, 5

Quanto incide il tasso di risparmio? calibrazioni (continua) • Se l’elasticità è pari a 0, 5, un aumento del tasso di risparmio del 10% (ad esempio dallo 0, 2 al 0, 22) implica un aumento della produttività in stato stazionario (y*) del 5%. • L’impatto è tanto maggiore quanto più grande è α →variazioni anche significative di s hanno effetti tutto sommato moderati su y* → tali effetti potrebbero richiedere un periodo di tempo molto lungo per esplicarsi (quanto dura la dinamica di transizione? )

Effetti di variazioni di n (Vedi grafici) Un aumento di n: • Riduce permanentemente il livello di produttività, y* • Riduce il tasso di crescita della produttività solo temporaneamente, durante la dinamica di transizione verso il nuovo stato stazionario (Quando il sistema raggiunge il nuovo equilibrio il tasso di crescita di k e y è tornato a 0)

Quanto dura la dinamica di transizione? Velocità di convergenza verso lo stato stazionario (1) Può essere riscritta come: Approssimazione (ai log) in serie di Taylor attorno allo stato stazionario: e, poiché in stato stazionario log(s)+(α-1)log(kt)= log(n+δ) :

Quanto dura la dinamica di transizione? Velocità di convergenza verso lo stato stazionario (2) In termini di produttività, ricordando che log(ye) = α log(ke) (e dunque dlog(ye) = α dlog(ke)): →tasso di crescita proporzionale alla distanza dallo stato stazionario Risolvendo l’equazione differenziale: ovvero: Al crescere di t yet converge allo stato stazionario ye* (con tassi di crescita decrescenti) λ→Velocità di convergenza (as es. se α= 0, 3 e (n+δ)=0, 06 λ=0, 042 e yet impiegherà 16 anni percorrere metà della distanza dallo stato stazionario.

IL MODELLO ANCORA NON SPIEGA LA CRESCITA SOSTENUTA DELLA PRODUTTIVITA NEL LUNGO PERIODO: la crescita di Y/L in stato stazionario è nulla

Il modello di Solow con progresso tecnico 1) Yt = F(Kt, At. Lt) Rendimenti di scala Costanti 2) St = s Yt 3) d. Kt/dt = It –δKt 4) St = It 5) 1/L d. Lt/dt = n (Lt = L 0 ent) 6) 1/A d. At/dt = g (At = A 0 egt)

Funzione di produzione in forma intensiva • Poiché la F ha rendimenti di scala costanti: Yt/At. Lt = F (Kt/At. Lt, 1) ovvero 1’) yet = f(ket) Dinamica di yet? Dipende dalla dinamica di ket.

Dinamica di ket dket/dt = d/dt (Kt/At. Lt) = =[At. Ltd. Kt/dt –Kt (Atd. Lt/dt +Ltd. At/dt)]/At 2 Lt 2 sostituendo le espressioni 2, 3, 4 5 e 6, e data la 1’ otteniamo: dket/dt = sf(ket) – (n+g+δ)ket

Dinamica di ket dket/dt = sf(ket) – (n+g+δ)ket • Se sf(ket) > (n+g+δ)ket, ket cresce (dkt/dt>0) • Se sf(ket) < (n+g+δ)ket, ket decresce (dket/dt<0) • Se sf(ket) = (n+g+δ)ket, ket costante (dkt/dt=0) stato stazionario

Esistenza e unicità dell’equilibrio di stato stazionario • • Se valgono le usuali ipotesi neoclassiche sulla funzione f, allora: Esiste un unico equilibrio di stato stazionario, ke*tale eche ket = ke* per ogni t Tale equilibrio è stabile. (vedi grafico)

Livelli di stato stazionario con funzione di produzione Cobb-Douglas • ke*→ s keα = (n+g+δ) ke ke* = [s/(n+g+ δ)]1/(1 -α) • ye* = [s/(n+g+ δ)] α /(1 -α) • k*=At ke* • y*= Atye*

Proprietà dello stato stazionario: Crescita Bilanciata • • • ke è costante (tasso di crescita pari a 0) k cresce al tasso g K cresce al tasso n+g e ye è costante y cresce al tasso costante g Y cresce al tasso n+g Nel lungo periodo (sul sentiero di crescita bilanciata) la forza che traina la crescita della produttività è il tasso di progresso tecnico.

Effetti di variazioni del tasso di progresso tecnico g Un aumento esogeno del tasso di progresso tecnico: Aumenta PERMANENTEMENTE il (livello e il) tasso di crescita della produttività (vedi grafici) Effetti di variazioni di s o n analoghi al modello senza progresso tecnico

Il modello di Solow e le domande centrali sulla crescita Che cosa determina le differenze nei livelli di produttività (Y/L) (per un singolo paese nel tempo o tra paesi diversi)? 2 possibili fattori, secondo il modello di Solow(56) 1. Differenze nei livelli di capitale per lavoratore (K/L) (a loro volta determinate da differenze in s e in ( n+g+δ): paesi con maggior s e minor (n+g+δ) dovrebbero avere maggior k e maggior y) 2. Differenze nell’efficienza del lavoro (A) (livello tecnologico)

Il livello di produttività su un sentiero di crescita bilanciata con f. di p. Cobb-Douglas • ke* = [s/(n+g+δ)]1/1 -α; ye* = [s/(n+g+δ)] α /1 -α • ln(ye*) = (α /(1 -α))ln(s) - (α /(1 -α))ln(n+g+δ) Ovvero, in termini di prodotto per lavoratore: ln(y*) = ln(At) +(α /(1 -α))ln(s) - (α /(1 -α)) ln(n+g+δ) (si ricordi che ln(ye*)=lny*-ln(At)) Sappiamo che At = A 0 egt, quindi: ln(y*) = ln(A 0)+gt + + (α /(1 -α))ln(s) - (α /(1 -α))ln(n+g+δ)

Differenze nei livelli di k spiegano le differenze nei livelli di y? CALIBRAZIONI In Italia: (y 1995/y 1900) = 11 (corrisponde circa al rapporto odierno tra y. USA e YIndia). Quale k 1995/k 1900 genererebbe tale differenza? Con α=0, 33: k 1995/k 1900 = 111/0, 33= 1331 Ma: semplicemente non ci sono differenze così gigantesche nei livelli di k né per singoli paesi nel tempo né tra paesi. (Si noti che tanto maggiore è α, tanto minore è la differenza implicata negli stock di capitale: con α=0, 6 nell’esempio di sopra il rapporto tra stock di capitale si riduce a un più plausibile 58)

Le differenze (nel tempo e tra paesi) nei livelli di k spiegano in buona misura le differenze nei livelli di produttività e PIL pro capite, solo assumendo valori di α molto più elevati di quanto il modello implica (share del capitale (0. 3) E allora? • O k in realtà è più importante di quanto implicato dal modello (i suoi rendimenti “sociali” potrebbero essere maggiori dei suoi rendimenti privati; α potrebbe non rappresentare la share del capitale ed essere anche molto maggiore di 1/3) • O il concetto di capitale non è ristretto al capitale fisico, ma esiste ad esempio qualche altro input cumulabile (ad esempio il capitale umano) oltre al capitale fisico di cui bisogna tener conto • O si attribuiscono le differenze a differenze nei livelli tecnologici A (ma che cos’è A? per il modello è un dato esogeno…. ) risultati sono promettenti per le “parabole” della crescita in generale (teorie basate su poche variabili facilmente osservabili sembrano funzionare), ma non supportano il modello di Solow in particolare.