Fraktali Matej Radovi to su fraktali Fraktali su

Fraktali { Matej Radović

Što su fraktali? Fraktali su slike nastale uzastopnim ponavljanjem neke matematičke funkcije, odnosno ponavljanjem određenog geometrijskog postupka. Fraktale je moguće uvećavati beskonačno mnogo, a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi, i da količina novih detalja uvijek bude otprilike jednaka

Kochova krivulja Jedna od prvih opisanih fraktalnih krivulja, predstavljena od strane švedskog matematičara Nielsa Fabiana Helge von Kocha 1904. godine. Ovu krivulju se često koristi kao reprezentativan primjer. Osim Kochove krivulje postoji i Kochova pahuljica. Razlika između krivulje i pahuljice je u tome što krivulja počinje dužinom, a pahuljica jednakostraničnim trokutom.

Konstrukcija krivulje

Konstrukcija pahulje

Trokut Sierpińskog Fraktal kojeg je 1915. godine opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński.

Fraktalna dimenzija Nakon velikog broja iteracija možemo vidjeti da duljina Kochove krivulje teži u beskonačnost kad broj iteracija teži u beskonačnost. No, cijela ta duljina je i dalje na istoj površini, samo je "zgužvana". Stupanj te "zgužvanosti" možemo vidjeti iz fraktalne dimenzije. Drugim riječima, ona nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki fraktal zauzima ravninu (ili općenito n-dimenzionalni prostor u kojem se nalazi). Tako Kochova krivulja ima fraktalnu dimenziju približno 1. 2619, a tepih Sierpińskog približno 1. 8928. Iz vrijednosti, kao i iz slika, može se vidjeti da je tepih Sierpińskog "gušći", "načičkaniji" od Kochove krivulje, odnosno ispunjava veći dio ravnine.

Podjela Po stupnju sličnosti: -potpuno samoslični fraktali (trokut Sierpińskog, Kochova krivulja, Hilbertova krivulja, Cantorov skup) -kvazi samoslični fraktali (Mandelbrotov i Julijev skup) -statički samoslični (Perlinov šum)

Primjeri fraktala

Primjena U računalnoj grafici (stvara terena, posebice planina) Kreiranje raznolikog raslinja (grmlje, drveće, busenje trave) Kompresija podataka, predviđanje potresa, slaganje snopova optičkih vlakana, oponašanje rada neuronske mreže za razvoj umjetne inteligencije itd.

Fraktali u prirodi Mogućnost primjene fraktala leži u činjenici da mnogi od njih sliče prirodnim pojavama. Često se kao primjer spominje posebna vrsta brokule te paprat. Med kristalizira u fraktalne oblike, a drveće je, kao i paprat, po svojoj prirodi fraktalnih svojstava (deblo se grana na grane koje se granaju na grančice. . . ). Zapravo, na neki je način gotovo cijeli svijet sačinjen od fraktalnih oblika. Mandelbrotov primjer sa obalom

Slike fraktala