Fale podune a fale poprzeczne zaburzenie ktre si

Fale podłużne a fale poprzeczne zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. poprzeczne : podłużne : kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia (np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p)

Równanie falowe Jednowymiarowe skalarne równanie falowe (wyprowadzimy je z równań Maxwella) funkcji f: Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, fal powierzchniowych). Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej) w próżni są rozwiązaniem równania falowego z v = c.

Fala płaska: Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń. Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła. Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie!

Prędkość grupowa Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa jest prędkością obwiedni fali nośnej. Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową. vg vp vg º dw /dk

Czy można: • zatrzymać światło? • przyspieszyć światło? !?

Wykład 3 Równania Maxwella a fale świetlne • Równania Maxwella • Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella • Dlaczego fale świetlne w próżni (powietrzu) są falami poprzecznymi • Gęstość energii fali świetlnej • Wektor Poyntinga • Irradiancja (natężenie światła) • Irradiancja superpozycji fal świetlnych • Skąd się bierze światło? • Wielkości częstości oscylacji atomowych i cząsteczkowych Zadania

Wektorowe równanie falowe Teraz mamy strzałkę nad E. Są to trzy niezależne równania falowe; każde z nich dotyczy składowych x, y, i z wektora E. posiada rozwiązanie w postaci: lub: zespolona amplituda

Wektorowe równanie falowe (3 D) Teraz mamy strzałkę nad E. posiada rozwiązanie w postaci: lub: zespolona amplituda

Fale wyrażone przez zespolone amplitudy wektorowe Pola zespolone, a więc i ich amplitudy są teraz wektorami: Zespolone amplitudy zapisane są więc przy pomocy aż sześciu liczb, które trzeba znać, by te amplitudy w pełni określić!!! składowa x składowa y składowa z

Powtórzenie; operatory różniczkowe Różniczkowy operator wektorowy nabla : Gradient funkcji skalarnej f : - jest wektorem, wskazuje kierunek, w jakim wzrost funkcji f jest największy. Dywergencja – operator różniczkowy, który funkcji wektorowej przypisuje wielkość skalarną

Powtórzenie; operatory różniczkowe Laplacian: operator różniczkowy drugiego rzędu, który można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji: Laplacian funkcji skalarnej: Laplacian funkcji wektorowej: (działa na każdą ze składowych funkcji wektorowej) Laplacian mówi nam o zakrzywieniu funkcji wektorowej

Powtórzenie; operatory różniczkowe Rotacja funkcji wektorowej tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Rotacja może być zapisana przy pomocy wyznacznika: W notacji Einsteina: Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo Ampera. Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w próżni:

Równania Maxwell’a Równania Maxwella opisują również fale elektromagnetyczne, których nie widzimy. • telefony komórkowe, • radio, • telewizja, • łączność satelitarna, • nawigacja morska i lotnicza, • systemy radiolokacji • …

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): zmienne E H H - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m 2 ], e 0 - przenikalność elektryczna próżni, 0 - przenikalność magnetyczna, - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej. E

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): H E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m 2 ], e 0 - przenikalność elektryczna próżni, 0 - przenikalność magnetyczna, - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. H E H

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella (RM) Weźmy : Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: Podstawiając za: mamy: m 0 i e 0 są stałe w czasie: 0 0 0 , lub: (RM)

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella (RM) Weźmy : Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: Podstawiając za: mamy: m 0 i e 0 są stałe w czasie: 0 0 0 , lub: (RM)

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella (RM) Weźmy : Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: (RM) Podstawiając za: mamy: m 0 i e 0 są stałe w czasie: 0 0 0 , lub:

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella (RM) Weźmy : Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: Podstawiając za: mamy: m 0 i e 0 są stałe w czasie: (RM) 0 0 0 , lub:

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas: . 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/v 2 = Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c: 0 0

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas: 0 0 . 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/v 2 = Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c: 0 0

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas: 0 0 . 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/v 2 = Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c: 0 0

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas: 0 0 . 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/v 2 = Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c: 0 0

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas: 0 0 . 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile: : Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c: 0 0

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero: W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc: Tak więc mamy: i i Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych. (RM)

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero: W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc: Tak więc mamy: i i Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych. (RM)

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcja x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero: W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc: Tak więc mamy: i i Tak więc w próżni 3 D nie ma propagujących się fal podłużnych. (RM)

Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x, t)]. (RM) Tak więc: (istnieje tylko składowa z obu wektorów) Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z. Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny.

Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x, t)]. (RM) Tak więc: (istnieje tylko składowa z obu wektorów) Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z. Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny.

Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x, t)]. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? (RM) Tak więc: oraz: - istnieje tylko składowa „z” wektora Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z. Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny.

Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x, t)]. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? (RM) Tak więc: oraz: - istnieje tylko składowa „z” wektora Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z. Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny.

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI W ogólności: Równania Maxwella poddane transformacie Fouriera zgodnie z regułą:

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI „Zdjęcie” w czasie t:

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI Wektory tworzą układ prawoskrętny.

Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. i Startujemy z: Całkujemy: Przyjmijmy Bz(x, 0) = 0 Otrzymujemy: Ponieważ w / k = c:

Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. i Startujemy z: Całkujemy: Przyjmijmy Bz(x, 0) = 0 Otrzymujemy: Ponieważ w / k = c:

Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. i Startujemy z: Całkujemy: Przyjmijmy Bz(x, 0) = 0 Całkowanie Ey wzgledem x daje ik, a całkowanie względem t daje 1/(-iw). Otrzymujemy: Ponieważ w / k = c:

Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. i Startujemy z: Całkujemy: Przyjmijmy Bz(x, 0) = 0 Całkowanie Ey wzgledem x daje ik, a całkowanie względem t daje 1/(-iw). Otrzymujemy: Ponieważ w / k = c:

Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q: Porównajmy obie siły; ich stosunek wynosi: gdzie jest prędkością ładunku Ponieważ B = E/c: Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać.

Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q: Porównajmy obie siły: gdzie jest prędkością ładunku gdyż: Ponieważ B = E/c: Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać.

Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q: Porównajmy obie siły: gdzie jest prędkością ładunku gdyż: Ponieważ B = E/c: Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać.

Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q: Porównajmy obie siły; ich stosunek wynosi: gdzie jest prędkością ładunku Ponieważ B = E/c: Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać.

Gęstość energii fali świetlnej (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości) Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali: B = E/c, i , a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali świetlnej są równe. W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Gęstość energii fali świetlnej (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości) Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali: Dla fali B = E/c, i , a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali świetlnej są równe.

Gęstość energii fali świetlnej (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości) Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali B = E/c, i , a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Tak więc udział gęstości energii pola elektrycznego i magnetycznego fali EM w całkowitej gęstości energii pola EM jest taki sam.

Wektor Poyntinga: U – gęstość energii pola A [ ] - strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) c Dt gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e 0 E 2 = c 2 e 0 E B W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Wektor Poyntinga: U – gęstość energii pola A [ ] - strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) c Dt gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e 0 E 2 = c 2 e 0 E B W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Wektor Poyntinga: [ ] - strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) U – gęstość energii pola A V c Dt gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e 0 E 2 = c 2 e 0 E B W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Wektor Poyntinga: [ ] - strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) U – gęstość energii pola A V c Dt gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e 0 E 2 = c 2 e 0 E B W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Wektor Poyntinga: U – gęstość energii pola A [ ] - strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) c Dt gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e 0 E 2 = c 2 e 0 E B

Wektor Poyntinga: U – gęstość energii pola A [ ] - strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) c Dt gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e 0 E 2 = c 2 e 0 E B

Wektor Poyntinga: Podstawiając: i do wyrażenia na wektor Poyntinga: wielkość szybkozmienna w czasie! Średnia z cos 2 jest równa 1/2:

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła średni strumień energii Podstawiając: i do wyrażenia na wektor Poyntinga: wielkość szybkozmienna w czasie! Średnia z cos 2 jest równa 1/2:

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie prostopadłe, oraz B 0 = E 0 / c, oraz , w kierunku propagacji irradiancja I (natężenie) fali wyraża się: [W/m 2] czyli: I gdzie: ~

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie prostopadłe, oraz B 0 = E 0 / c, oraz , w kierunku propagacji irradiancja I (natężenie) fali wyraża się: [W/m 2] czyli: I ~ gdzie: Pamiętajmy: rozważania nasze są poprawne dla fali harmonicznej rozchodzącej się w próżni. Falę opisaliśmy:

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła [W/m 2] ? S (na pow. Ziemi) =1400 W/m 2 laserem osiągalne S 1020 W/m 2 E 109 V/m pola wewnątrz atomów

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła [W/m 2] ? S (na pow. Ziemi) =1400 W/m 2 laserem osiągalne S 1020 W/m 2 E 109 V/m pola wewnątrz atomów

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła [W/m 2] S (na pow. Ziemi) =1400 W/m 2 laserem osiągalne S 1020 W/m 2 E 109 V/m pola wewnątrz atomów ? Zwierciadło Archimedesa Giulio Parigi (1571 -1635) Galleria degli Uffizi (Florencja)

Światło jako broń (? ) Wcześni historycy greccy i rzymscy donoszą, że Archimedes wyposażył setki ludzi w metalowe zwierciadła by zogniskować światło słoneczne na rzymskich statkach wojennych w bitwie pod Syrakuzami (213 211 BCE). Jest to historia apokryficzna

Podsumowanie: • • • Wektory są wzajemnie prostopadłe. Wektory drgają w zgodnej fazie. Fala EM jest falą poprzeczną W próżni (w ośrodku izotropowym) fala elektromagnetyczna transportuje energię prostopadle do swojego czoła. Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu) rozchodzi się z prędkością

Sumowanie pól: elektromagnetyzm jest teorią liniową, zasada superpozycji obowiązuje. Jeśli E 1(x, t) and E 2(x, t) są rozwiązaniami równania falowego, wówczas E 1(x, t) + E 2(x, t) jest też jego rozwiązaniem. • Oznacza to, że wiązki światła mogą przechodzić jedna przez drugą. • Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie lub destruktywnie interferować:

Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do: , irradiancja wynosi: 0

Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do: , irradiancja wynosi: 0 Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y): natężenia dodają się Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: Tak więc: Wyraz krzyżowy ! Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!

Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do: , irradiancja wynosi: 0 Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y): 1 2 natężenia dodają się Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: 0 0 Tak więc: 0 0 Wyraz krzyżowy ! Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!

Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do: , irradiancja wynosi: 0 Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y): 1 2 natężenia dodają się Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: 0 0 Tak więc: 0 0 0 0 Wyraz krzyżowy ! Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!

Zadanie: Zapisz pole E i B płaskiej fali monochromatycznej o częstotliwości , która porusza się: a) w kierunku ujemnym osi x i jest spolaryzowana* w kierunku osi z, b) porusza się w kierunku wyznaczonym przez początek układu współrzędnych i punkt (1, 1, 1) i jest spolaryzowana* równolegle do płaszczyzny xz. *) Fala elektromagnetyczna jest spolaryzowana w danym kierunku (lub w danej płaszczyźnie) gdy jej wektor elektryczny oscyluje zgodnie z tym kierunkiem (lub w tej płaszczyźnie).

Równania Maxwella Widzieliśmy, że w pustej przestrzeni równania Maxwella (równanie falowe) opisuje propagację światła. H E H E H Ale skąd się pochodzi światło, co jest jego pierwotnym źródłem? Musi nim być materia.

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: sformułowanie „makroskopowe” - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m 2 ], - indukcja elektryczna, [ C / m 2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] er - przenikalność elektryczna ośrodka, (wzgledna) r - przenikalność magnetyczna ośrodka, (wzgledna) - gęstość prądu swobodnego, [A/m 2], - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m 3] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m].

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m 2], - indukcja elektryczna, [ C / m 2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] er - przenikalność elektryczna ośrodka (względna), r - przenikalność magnetyczna ośrodka (względna), - gęstość prądu, [A/m 2], - gęstość ładunku, [ C / m 3] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m].

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m 2], - indukcja elektryczna, [ C / m 2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] er - funkcja dielektryczna r = r( ), r - przenikalność magnetyczna ośrodka, - gęstość prądu swobodnego, [A/m 2], - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m 3] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m].

Źródła światła przyspieszane ładunki niezwiazane Liniowo przyspieszane ładunki Promeniowanie synchrotronowe - promieniowanie emitowane przez naładowane cząstki przyspieszane po krzywoliniowych torach np. . w polu magnetycznym Promieniowanie hamowania (niem. Bremsstrahlung) - promieniowanie powstające podczas hamowania cząstki obdarzonej ładunkiem elektrycznym (np. w trakcie hamowania w zderzeniu z inną czastką naładowaną).

Źródła światła: polaryzacja Ośrodek spolaryzowany (obojętny elektrycznie jako całość): Gdy drgania ładunków (elektronów) są skorelowane, ośrodek jest spolaryzowany. Polaryzacja ośrodka może się zmieniać harmonicznie w czasie.

Ośrodek spolaryzowany: Gdy drgania ładunków (elektronów) są skorelowane, ośrodek jest spolaryzowany. Polaryzacja ośrodka może się zmieniać harmonicznie w czasie. Indukowana polaryzacja ośrodka jest zawarta w równaniach Maxwell’a (przyjęto, że r=1):

Rzędy wielkości częstości oscylacji atomowych i cząsteczkowych: Oscylacje elektronów wynikające z ich ruchu wokół jader atomowych: Duża częstość: ~1014 - 1017 cykli na sekundę. Oscylacje jąder cząsteczek względem siebie: Pośrednie częstości: ~1011 - 1013 cykli na sekundę. Rotacja jąder cząsteczek: Niskie częstości: ~109 - 1010 cykli na sekundę. Energiom związanym z oscylacjami przypisać można poziomy energetyczne

Oscylacje atomowe i cząsteczkowe obrazu klasycznego odpowiadają przejściom między poziomami energetycznymi w opisie kwantowym. Energia Stan wzbudzony DE = h n Stan podstawowy Atom oscylujący z czestością n. Atom oscylujący między stanem wzbudzonym i podstawowym.

Wzbudzone atomy spontanicznie emitują fotony. Kiedy atom wraca do stanu o niższym poziomie energii, emituje foton. Energia Stan wzbudzony Stan podstawowy Cząsteczki na ogół pozostają dłużej wzbudzone ( ~ kilka nsek). Emisja fotonu: fluorescencja lub, dla dłuższych czasów życia: fosforescencja.

Cząsteczki posiadają znacznie bardziej zróżnicowane poziomy energetyczne niż atomy. Przykład poziomów energetycznych cząsteczki: E = Eel + Evib + Erot 1 szy wzbudzony stan elektronowy Energia 2 gi wzbudzony stan elektronowy Wzbudzony poziom rotacyjno-oscyalcyjny Przejście między stanami elektronowymi Podstawowy stan elektronowy Dodatkowo widmo komplikuje się wskutek sprzężenia spin-orbita, obecności spinu jądrowego etc. Tak więc cząsteczki mają zwykle dość złożone widma.

Dziękuję za uwagę

Lemma: Proof: Look first at the LHS of the above formula: Taking the 2 nd yields: x-component: y-component: z-component:

Lemma (cont’d): Proof (cont’d): Now, look at the RHS:

Sumowanie pól: elektromagnetyzm jest teorią liniową, zasada superpozycji obowiązuje. Jeśli E 1(x, t) and E 2(x, t) są rozwiązaniami równania falowego, wówczas E 1(x, t) + E 2(x, t) jest też jego rozwiązaniem Oznacza to, że wiązki światła mogą przechodzić jedna przez drugą. Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie lub destruktywnie interferować:

1. Proof that f (x ± vt) solves the wave equation (z wykładu 02 Fale) Write f (x ± vt) as f (u), where u = x ± vt. So and Now, use the chain rule: So and Substituting into the wave equation: