EDO de 2 ordem Linear Clculo 2 A

EDO de 2ª ordem Linear Cálculo 2 A – Turma H 1 2014. 1

EDO de 2ª ordem linear Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma (1) onde f é alguma função dada. A equação (1) é dita linear se a função f tem a forma Ou seja, (2) onde p, q e g: (a, b)→IR.

EDO de 2ª ordem linear Um P. V. I é constituido por (2) e uma par de condições y(t 0)=y 0 e y’(t 0)=y’ 0 onde y 0’ são números dados. Uma equação linear de segunda ordem é dita homogênea se a função g(t) é igual a zero para todo t.

EDO de 2ª ordem linear homogênea Então uma EDO 2ª ordem linear homogênea é da forma: y’’+p(t)y’+q(t)y=0 (3) Vamos estudar as soluções de (3) com as funções p e q constantes. Exemplo 1: Resolva a equação y” – y = 0. Temos neste caso p = 0 e q = - 1. Isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma.

EDO de 2ª ordem linear homogênea Facilmente identificamos que y 1(t) = e t e y 2 (t) = e -t servem. Também servem c 1 y 1 (t) = c 1 e t e c 2 y 2 (t) = c 2 e -t E mais y = c 1 y 1 (t)+c 2 y 2 (t) = c 1 e t + c 2 e –t, para c 1 e c 2 quaisquer.

EDO de 2ª ordem linear homogênea Teorema: (Princípio da Superposição) Se y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0, então a combinação linear c 1 y 1(t) + c 2 y 2(t) também é solução , quaisquer que sejam os valores das constantes c 1 e c 2.

Wronskiano Vamos verificar as condições para que uma solução da forma c 1 y 1(t) + c 2 y 2(t) satisfaça o P. V. I. y(t 0)=y 0 e y’(t 0)=y’ 0 (quadro)

O Wronskiano e a independência linear das soluções Definição: ¢ Duas funções y 1, y 2: (a, b)→IR são L. D. se existe uma constante k tal que y 2(t)=k y 1(t). ¢ Duas funções y 1, y 2: (a, b)→IR são L. I. se a condição c 1 y 1(t) + c 2 y 2(t)=0 implicar que c 1=c 2=0. Teorema: Se y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 num intervalo (a, b) e se W[y 1, y 2](t 0)≠ 0 num ponto do intervalo então y 1 e y 2 são L. I. sobre (a, b). De outra forma, se y 1 e y 2 forem L. D. sobre (a, b) então W[y 1, y 2](t)=0 para todo t em (a, b).

EDO de 2ª ordem linear homogênea ¢ Pode-se concluir que o espaço das soluções das EDO’s de 2ª ordem lineares homogêneas tem dimensão. .

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes ¢ Vamos reescrever (3) da seguinte forma: y’’+p y’+q y=0 (3’) Derivada de 2ª Derivada de 1ª Derivada de ordem zero (a própria função) Candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar! Substituindo em (3’) obtemos λ 2 eλt+p λ eλt+q eλt=0 eλt (λ 2+p λ+q)=0

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Para que y(t)=eλt seja solução devemos λ 2+p λ+q=0 (4) que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes ¢

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Caso 1: (p 2 -4 q>0) Duas raízes reais distintas: λ 1 e λ 2. Candidatos a solução: ¢ Calculando o Wronskiano dessas soluções temos que: Portanto as soluções y 1 e y 2 dadas são L. I. e neste caso a solução geral é da forma Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’ – 5 y’ +6 y = 0.