DP GRAFK ZM YNTEM 1 Matematiksel Programlama MATEMATKSEL

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 1 Matematiksel Programlama MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA DOĞRUSAL PROGRAMLAMA GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 2 Matematiksel Programlama Temel Kavramlar • Çözüm: Bir doğrusal programlama probleminin kısıtlayıcı fonksiyonlarının hepsini birden sağlayan karar değişkenlerinin (x 1, x 2, . . . , xn) oluşturduğu kümeye çözüm denir. • Uygun çözüm: Negatif olmama koşulunu sağlayan çözüme uygun çözüm denir. • En iyi çözüm: Amaç fonksiyonuna en iyi değeri (en küçük veya en büyük) sağlayan uygun çözüme en iyi çözüm denir. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 3 Matematiksel Programlama Grafik Çözüm Yönteminin Aşamaları • Bir doğrusal programlama probleminin grafik çözümünde aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Değişkenlerin koordinat sisteminin yatay ve dikey eksenlerine yerleştirilmesi, 2. Kısıtlayıcı fonksiyonların grafiğinin çizilmesi, 3. Uygun çözüm bölgesinin belirlenmesi, 4. En iyi çözümün araştırılması. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 4 Matematiksel Programlama Örnek 1 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 5 Matematiksel Programlama Örnek 1 -devam Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 6 Matematiksel Programlama Örnek 1 -devam Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 7 Matematiksel Programlama Örnek 3 Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 8 Matematiksel Programlama Örnek 3 -devam Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ Marmara Üniversitesi 9 Matematiksel Programlama Örnek 3 -devam Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 10 Matematiksel Programlama Örnek 4 Aşağıdaki doğrusal programlama yöntemiyle çözünüz problemini grafik Zenk = 3 x 1 + 5 x 2 3 x 1 + x 2 ³ 9 x 1 + 2 x 2 ³ 8 x 1 + 5 x 2 ³ 10 x 1, x 2 ³ 0 Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 11 Matematiksel Programlama Örnek 4 -devam Doğruların çizilmesiyle ilgili aritmetik işlemler aşağıda topluca gösterilmiştir. • 3 x 1 + x 2 = 9 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 9, x 2 = 0 için x 1 = 3, • x 1 + 2 x 2 = 8 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 4, x 2 = 0 için x 1 = 8, • x 1 + 5 x 2 = 10 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 2, x 2 = 0 için x 1 = 10 • • ZA = Z(0, 9) = 3(0) + 5(9) = 45 Zenk =ZB = Z(2, 3) = 3(2) + 5(3) = 21* ZC = Z(20/3, 2/3) = 3(20/3) + 5(2/3) = 23. 3 ZD = Z(10, 0) = 3(10) + 5(0) = 30 Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 12 Matematiksel Programlama Örnek 5 • Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenk = 2 x 1 + 3 x 2 3 x 1 + 2 x 2 ³ 6 x 1 - 2 x 2 4 x 1 5 x 2 3 x 1, x 2 ³ 0 Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 13 Matematiksel Programlama Örnek 5 -devam • Uç noktaların koordinatlarının ayrı hesaplanıp amaç fonksiyonunda yerine konulmasıyla ulaşılan değerler de (aşağıda topluca verilmiştir) E noktasının en iyi çözümü sağlayan nokta olduğunu göstermektedir. • • • ZA = Z(0, 3) = 2(0) + 3(3) = 9 ZB = Z(5, 3) = 2(5) + 3(3) = 19 ZC = Z(5, 0, 5) = 2(5) + 3(0. 5) = 11. 5 ZD = Z(4, 0) = 2(4) + 3(0) = 8 ZE = Z(2, 0) = 2(2) + 3(0) = 4 Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 14 Matematiksel Programlama Grafik Çözümde Karşılan Özel Durumlar 1. 2. 3. 4. Eşitsizliklerin Tutarsız Olması Sınırsız Çözüm Uygun Çözüm Bölgesinin Bir nokta Olması Alternatif Eniyi Çözümün Bulunması Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 15 Matematiksel Programlama 1. Eşitsizliklerin Tutarsız Olması • Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 6 x 1 + 3 x 2 x 1 + 2 x 2 2 2 x 1 + x 2 ³ 6 x 1, x 2 ³ 0 Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 16 Matematiksel Programlama 1. Eşitsizliklerin Tutarsız Olması-devam • Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 6 x 1 + 3 x 2 x 1 + 2 x 2 2 4 x 1 + 3 x 2 ³ 12 x 1, x 2 ³ 0 Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 17 Matematiksel Programlama 2. Sınırsız Çözüm • Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 2 x 1 + x 2 -2 x 1 + x 2 4 x 1 - x 2 1 x 1, x 2 ³ 0 Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 18 Matematiksel Programlama 3. Uygun Çözüm Bölgesinin Bir Nokta Olması Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 6 x 1 + 3 x 2 x 1 + x 2 6 3 x 1 + 5 x 2 ³ 24 x 2 = 3 x 1, x 2 ³ 0 Üç doğrunun kesiştiği noktanın koordinatlarının belirlenmesi amacıyla bunlardan rasgele seçilen ikisi, 3 x 1 + 5 x 2 = 24 ve x 2 = 3 olsun. Bu iki denklemin çözümünden x 1 = 3, x 2 = 3 elde edilir. Buradan amaç fonksiyonunun en büyük değeri, Z’de x 1 = 3, x 2 = 3 yerleştirilmesiyle, Zenb = 6(3) + 3(3) = 27 olarak hesaplanır. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 19 Matematiksel Programlama 4. Alternatif Eniyi Çözümün Bulunması Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = 8 x 1 + 8 x 2 2 x 1 + 3 x 2 ³ 12 3 x 1 + 2 x 2 ³ 12 x 1 + x 2 6 x 1, x 2 ³ 0 Problemin uygun çözüm bölgesi ABC üçgen alanıdır. Amaç fonksiyonunun ABC üçgeninin uç noktalarındaki değerleri aşağıda verilmiştir. ZA = Z(0, 6) = 8(0) + 8(6) = 48 ZB = Z(6, 0) = 8(6) + 8(0) = 48 ZC = Z(12/5, 12/5) = 8(12/5) + 8(12/5) = 192/5 Amaç fonksiyonu en büyük değerine A(0, 6) ve B(6, 0) noktalarında ulaşmıştır. Dolayısıyla A ve B noktalarındaki çözümler birbirlerine alternatif olan en iyi çözümlerdir. Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK

DP GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ 20 Matematiksel Programlama Ödev Aşağıdaki DP problemini grafik çözüm yöntemi ile çözünüz. Zenb = 3 x 1 + 6 x 2 x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 1 x 1 - x 2 -1 x 1, x 2 ³ 0 Marmara Üniversitesi Öğr. Gör. Dr. Habip KOÇAK