DG 9 Angittern Regelmige quadratische Pyramide Grundflche in

DG 9 - Angittern Regelmäßige quadratische Pyramide, Grundfläche in P 1 Schnitt mit ebenen Flächenstück Pyr amide ABCDS A(6/4/0), S(4, 5/o, 5/8) Dreieck PQR P(1/4/8), Q(11/1/0), R(6/-3, 5/1, 5) 1

DG 9 - Angittern Die Angaben werden in Grund- und Aufriss gezeichnet. Von der Pyramide ist nur ein Eckpunkt der Grundfläche und die Spitze gegeben. Da eine regelmäßige Pyramide angegeben ist, deren Grundfläche in P 1 liegt, liegt der Mittelpunkt des Basisquadrates senkrecht unter der Spitze in P 1 und die Abbildungen von S und M fallen im Grundriss zusammen. 2

DG 9 - Angittern Im Grundriss können die Diagonalen des Basisquadrates gezeichnet werden. Der Mittelpunkt ist senkrecht unter der Spitze in P 1. 3

DG 9 - Angittern Im Grundriss können die Diagonalen des Basisquadrates gezeichnet werden. Der Mittelpunkt ist senkrecht unter der Spitze in P 1. Das Basisquadrat kann nun im Grundriss gezeichnet werden. 4

DG 9 - Angittern Die Eckpunkte des Basisquadrates werden in den Aufriss übertragen. 5

DG 9 - Angittern Nun kann die Ansicht der Pyramide auch im Aufriss gezeichnet werden. Die Seitenkante B-S liegt räumlich „hinter“ der Pyramide (im Grundriss zu sehen) und ist daher im Aufriss nicht sichtbar. 6

DG 9 - Angittern Im nächsten Schritt wird das Dreieck in Grund- und Aufriss gezeichnet. Um sich die Lage des Dreiecks vorstellen zu können, werden die Punkte Q und P näher betrachtet. Punkt Q liegt „vorne“ (im Grundriss zu sehen) und „unten“ (im Aufriss zu sehen). Punkt P liegt „hinten“ (im Grundriss zu sehen) und „oben“ (im Aufriss zu sehen). Es ist zu erwarten, dass die Seitenkanten der Pyramide A-S, B-S und D-S sicher das Dreieck durchdringen. Die Seitenkante C-S wird wahrscheinlich „über“ der Dreieckskante R-P liegen. Betrachten Sie diese Überlegungen lange genug, um sie auch räumlich nachvollziehen zu können. 7

DG 9 - Angittern Der Durchstoßpunkt der Pyramidenkante A -S wird konstruiert. Eine erstprojizierende Schnittebene wird durch diese im Grundriss gelegt. Diese schneidet das Dreieck in den Punkten 1 und 2. 8

DG 9 - Angittern Die Punkte 1 und 2 werden in den Aufriss übertragen. 9

DG 9 - Angittern Die Punkte 1 und 2 werden in den Aufriss übertragen. Die Verbindung dieser Angitterpunkte (Gitterlinie) ergibt im Schnittpunkt mit der Seitenkante A-S den Durchstoßpunkt dieser Pyramidenkante. 10

DG 9 - Angittern Der Durchstoßpunkt D 1 wird in den Grundriss übertragen. Diese Gitterlinie hätte auch den Durchstoßpunkt der Seitenkante C-S ergeben. Wenn die Gitterlinie 1 -2 bis zur Kante C-S verlängert wird, ergäbe das den Durchstoßpunkt. Wie deutlich zu erkennen ist, liegt dieser außerhalb des Dreiecks und daraus ist zu schließen, dass die Seitenkante C-S das Dreieck nicht durchdringt. Siehe auch nochmals die Folie 7 in der diese Tatsache schon vermutet wurde. 11

DG 9 - Angittern Die Sichtbarkeit der Seitenkante A-S ergibt sich aus der Überlegung, dass der Teil oberhalb des Durchstoßpunktes sichtbar sein muss, da die Spitze der Pyramide „über“ dem Dreieck liegt. Im Aufriss ist die Oberseite des Dreiecks zu sehen (Punkt P liegt „hinter“ der Seitenkante A-S). 12

DG 9 - Angittern Nun werden die Durchstoßpunkte für die Kanten D-S und B-S „angegittert“. Eine Ebene durch diese Seitenkanten schneidet das Dreieck in den Punkten 3 und 4. 13

DG 9 - Angittern Die Gitterlinie wird in den Aufriss übertragen und. . 14

DG 9 - Angittern Die Gitterlinie wird in den Aufriss übertragen und ergibt dort die Durchstoßpunkte D 2 und D 4 auf den Pyramidenkanten D-S und B-S. 15

DG 9 - Angittern Die Durchstoßpunkte werden in den Grundriss übertragen. 16

DG 9 - Angittern Die Sichtbarkeit ergibt sich wieder aus der Tatsache, dass die Pyramide „oberhalb“ des Dreieckes liegt und daher ist die Kante D-S von der Spitze bis zum Dreieck zu sehen, wie auch die Kante A-S. 17

DG 9 - Angittern Die Sichtbarkeit ergibt sich wieder aus der Tatsache, dass die Pyramide „oberhalb“ des Dreieckes liegt und daher ist die Kante D-S von der Spitze bis zum Dreieck zu sehen, wie auch die Kante A-S. Im Grundriss ist das auch so. Daher sind die Seitenkanten A-S, B-S, D-S von der Spitze bis zu den Durchstoßpunkten im Dreieck sichtbar und danach erst wieder, wenn sie vom Dreieck, von oben aus betrachtet, nicht verdeckt werden. 18

DG 9 - Angittern Die Seitenkante C-S liegt, wie schon in Folie 11 beschrieben, „oberhalb“ des Dreiecks, daher kann sie nicht das Dreieck durchdringen. Aus der Tatsache dass die Pyramidenkante B-S das Dreieck durchdringt und die Kante C-S nicht, geht hervor, dass die Seitenkante des Dreiecks R-P die Pyramide durchdringen muss. Daher geht die Dreieckskante von R aus in die Fläche D-C-S (dann verläuft sie innerhalb der Pyramide) und danach verlässt sie die Pyramide in der Fläche C -B-S und verläuft bis zum Punkt P. Um diese Durchstoßpunkte zu finden wird eine erstprojizierende Ebene durch die Seitenkante R-P gelegt. 19

DG 9 - Angittern Dies schneidet die Pyramidenfläche C-D-S in den Punkten 5 und 6. Die Fläche B-C-S wird auch im Punkt 6 geschnitten und zusätzlich im Punkt 7. 20

DG 9 - Angittern Dies schneidet die Pyramidenfläche C-D-S in den Punkten 5 und 6. Die Fläche B-C-S wird auch im Punkt 6 geschnitten und zusätzlich im Punkt 7. Werden die Punkte 5 und 6 und 7 verbunden, ergeben sich zwei Gitterlinien (violett gezeichnet), je eine auf den Pyramidenflächen. 21

DG 9 - Angittern Dies schneidet die Pyramidenfläche C-D-S in den Punkten 5 und 6. Die Fläche B-C-S wird auch im Punkt 6 geschnitten und zusätzlich im Punkt 7. Werden die Punkte 5 und 6 und 7 verbunden, ergeben sich zwei Gitterlinien (violett gezeichnet), je eine auf den Pyramidenflächen. Im Aufriss ergeben die Schnittpunkte dieser Gitterlinien mit der Dreieckskante R-P die Durchstoßpunkte D 5 und D 6. 22

DG 9 - Angittern Die Durchstoßpunkte D 5 und D 6 werden in den Grundriss übertragen. Der Unterschied in der Konstruktion der Durchstoßpunkte der Pyramidenkanten über A, B und D besteht darin, dass diese Pyramidenkanten das Dreieck durchdrungen haben, nun aber eine Dreieckskante (R-P) zwei Pyramidenflächen durchdringt. Die Methode des Angitterns ist die gleiche. 23

DG 9 - Angittern Die Sichtbarkeit des Schnittes ist im Grundriss leicht zu erkennen. Es ist eine geschlossene Linie von R – D 5 – D 4 – D 1 – D 2 – D 6 – P – Q – R. Im Aufriss ist die Schnittgerade von D 1 – D 2 – D 6 „hinter“ der Pyramide und daher unsichtbar gezeichnet. 24

DG 9 - Angittern Wenn alle Konstruktionslinien entfernt sind ist der Schnitt des Dreiecks mit der Pyramide besser ersichtlich. Noch besser, . . . . 25

DG 9 - Angittern Wenn alle Konstruktionslinien entfernt sind ist der Schnitt des Dreiecks mit der Pyramide besser ersichtlich. Noch besser, wenn das Dreieck eingefärbt ist. 26

DG 3 - Angittern Danke für´s Mitdenken! Euer n. willmann@liwest. at 27