APLIKASI GRAF Aplikasi Graf Lintasan Terpendek Shortest Path

APLIKASI GRAF

Aplikasi Graf Lintasan Terpendek (Shortest Path) • Graf berbobot (weighted graph) • Lintasan terpendek: lintasan yang memiliki total bobot minimum. Contoh aplikasi: • Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos termurah antara dua buah kota • Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal pada jaringan komputer.

Lintasan Terpendek • Terdapat beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain: 1) Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu. 2) Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul. 3) Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain. 4) Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu. • Di dalam kuliah ini kita memilih jenis persoalan 3

Lintasan Terpendek • Diberikan graf berbobot G = (V, E) dan sebuah simpul a. • Tentukan lintasan terpendek dari a ke setiap simpul lainnya di G. • Asumsi yang kita buat adalah bahwa semua sisi berbobot positif.

Lintasan Terpendek • Graph Simpul asal Simpul Tujuan Lintasan terpendek Jarak 1 3 1® 3 10 1 4 1® 3® 4 25 1 2 1® 3® 4® 2 45 1 5 1® 5 45 1 6 tidak ada -

Algoritma Djikstra • Algoritma Dijkstra adalah sebuah prosedur iteratif yang mencari lintasan terpendek antara a dan z dalam graf dengan pembobot. • Prosesnya dengan cara mencari panjang lintasan terpendek dari sebuah simpul pendahulu dan menambahkan simpul-simpul tersebut ke set simpul S. Algotirma berhenti setelah mencapai simpul z. EL 2009 Matematika Diskrit Bag. 6: Graf 6

Contoh Algoritma Djikstra • Tentukan lintasan terpendek dari a ke z b ∞ d 5 4 a ∞ 6 8 1 z 2 0 3 2 Step 0 EL 2009 ∞ 10 c ∞ e Matematika Diskrit Bag. 6: Graf ∞ 7

Solusi b ∞ 4 (a) d 5 4 a ∞ 6 8 1 z 2 0 3 2 ∞ 10 c ∞ (a) 2 e ∞ Step 1 EL 2009 Matematika Diskrit Bag. 6: Graf 8

Solusi b 3 (a, � 4 (a) c) d 5 4 a � 10 (a, c) 6 8 1 z 2 0 3 2 � 10 c 2 (a) � e 12 (a, c) � Step 2 EL 2009 Matematika Diskrit Bag. 6: Graf 9

Solusi • contoh: b 3 (a, � 4 (a) c) d 5 4 a � 10(a, 8 (a, c, c)b) 6 8 1 z 2 0 3 2 � 10 c 2 (a) � e 12 (a, c) � Step 3 EL 2009 Matematika Diskrit Bag. 6: Graf 10

Solusi • contoh: b 3 (a, � 4 (a) c) d 5 4 a � 10(a, 8 (a, c, c)b) 6 8 1 z 2 0 3 2 � 14 (a, c, b, d) 10 c 2 (a) � e 12 � 10 (a, c, b, d) (a, c) Step 4 EL 2009 Matematika Diskrit Bag. 6: Graf 11

Solusi • contoh: b 3 (a, � 4 (a) c) d 5 4 a � 10(a, 8 (a, c, c)b) 6 8 1 z 2 0 3 2 � 14 (a, 13 (a, c, c, b, b, d, d)e) 10 c 2 (a) � e 12 � 10 (a, c, b, d) (a, c) Step 5 EL 2009 Matematika Diskrit Bag. 6: Graf 12

Solusi • contoh: b 3 (a, � 4 (a) c) d 5 4 a � 10(a, 8 (a, c, c)b) 6 8 1 z 2 0 3 2 � 14 (a, 13 (a, c, c, b, b, d, d)e) 10 c e 2 (a) � 12 � 10 (a, c, b, d) (a, c) Step 6 EL 2009 Matematika Diskrit Bag. 6: Graf 13

Pewarnaan Graf • Sebuah pewarnaan dari graph G adalah sebuah pemetaan warna-warna ke simpul dari G sedemikian hingga simpul relasinya mempunyai warna yang berbeda. • Bilangan kromatik dari G adalah jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai graph G, dilambangkan dgn χ(G) (chi G)

Algoritma Welch Powel • Algoritma Welch-Powell adalah sebuah cara efisien untuk mewarnai sebuah graph G Langkah Algoritma Welch-Powell : • Urutkan simpul-simpul G dalam derajat yang menurun. Urutan ini mungkin tidak unik karena beberapa simpul mempunyai derajat sama • Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama (yang mempunyai derajat tertinggi) dan simpul-simpul lain (dalam urutan yang berurut) yang tidak bertetangga dengan simpul pertama. • Mulai lagi dengan daftar paling tinggi dan ulangi proses pewarnaan simpul yang tidak berwarna sebelumnya dengan menggunakan warna kedua. • Terus ulangi dengan penambahan warna sampai semua simpul telah diwarnai

Contoh • Tentukan warna setiap simpul graf berikut dengan menggunakan Algoritma Welch. Powell!

Solusi • Tentukan derajat masing-masing simpul • d(A) = 2 ; d(B) = 3 ; d(C) = 4 ; • d (D) = 3; d(E) = 5 ; d(F) = 3 ; • d(G) = 2 ; d (H) = 2 Simpul E C B D F A G H Derajat 5 4 3 3 3 2 2 2

Solusi Simpul E C B D F Derajat 5 4 3 3 3 Warna m b h A G H 2 2 2 m m h

Contoh • Tentukan warna setiap simpul graf berikut dengan menggunakan Algoritma Welch. Powell! V 1 V 2 V 4 V 3 V 6 V 5 V 7

Solusi V 1 V 2 V 4 V 3 V 5 V 6 V 7 Simpul V 1 V 4 V 5 V 6 V 2 V 3 V 7 Derajat 5 4 4 4 3 3 3 Warna

Latihan 1. Tentukan banyaknya bilangan kromatik dari graf berikut! V 1 V 2 V 4 V 3 V 6 G V 5 V 2 V 4 V 3 V 5 V 6 H

Latihan 2. Tentukan banyaknya bilangan kromatik dari graf berikut! A V 1 V 3 V 2 V 4 H G B F V 5 C V 6 D G E H

Latihan 3. Berapa jumlah minimum warna yang dibutuhkan bilangan khromatis X(G) dari Graf berikut.

Latihan 4. Gunakan algoritma Welch-Powell untuk mewarnai graf G yang ditunjukkan pada gambar 2 dan tentukan bilangan kromatiknya.

Latihan 5. Gunakan algoritma Welch-Powell untuk mewarnai graf dibawah ini :

Latihan 6. Gunakan algoritma Welch-Powell untuk mewarnai graf dibawah ini :