6 Fouriermuunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1 1 6

6. Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1 1

6. 1 Yleistä Fouriermuunnoksista n n n Fourier-sarjoja voidaan käyttää jaksollisten funktioiden esittämiseen. Jaksottomien funktioiden esittämiseen käytetään Fourier-muunnosta. Seuraavassa perustellaan, miksi Fourier-muunnosta käytetään sähkötekniikassa erittäin runsaasti. Langattomien laitteiden matematiikka 1 2

n Esimerkki 1. Tutkitaan aluksi, miten taajuuden pienentäminen vaikuttaa allaolevan kaltaisen funktion spektriin Langattomien laitteiden matematiikka 1 3

n n Taajuuden pienentyessä - pulssin sakarat etääntyvät toisistaan aika-alueessa - taajuusalueessa spektriviivat tihenevät Rajatapauksena saadaan jaksoton yksittäinen sakarapulssi. Langattomien laitteiden matematiikka 1 4

n n Jaksottoman funktion spektri on usein jatkuva. (vrt. Fourier-sarjat…) Tästä seuraa se, että matemaattiseen kuvaamiseen tarvitaan summan sijasta integraali (summa on diskreetti)! Langattomien laitteiden matematiikka 1 5

6. 2 Fourier-muunnos n Funktion f : R K Fourier-muunnok-sella tarkoitetaan integraalia Langattomien laitteiden matematiikka 1 6

n n Fourier-muunnos on olemassa, jos integraali (F) suppenee. Fourier-muunnokselle käytännön tilanteissa riittävä ehto on, että seuraava integraali suppenee Langattomien laitteiden matematiikka 1 7

n Fourier-muunnoksen käänteismuunnos määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1 8

n Usein Fourier-muunnokselle ja käänteismuunnokselle käytetään merkintöjä: F ( ) = F [f (t )] f (t ) = F -1 [F ( ) ] Langattomien laitteiden matematiikka 1 9

n n Fourier-muunnos on yleisessä tapauksessa kompleksiarvoinen funktio ja määrittelee signaalin f (t ) jatkuvan spektrin. Muunnoksen itseisarvo |F ( )| muodostaa amplitudispektrin ja vaihekulma arg(F ( )) vaihespektrin. Langattomien laitteiden matematiikka 1 10

n Esimerkki 2. Määritetään seuraavanlaisen sakarapulssin Fourier-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1 11

n Esimerkki 3. Muodostetaan seuraavanlaisen signaalin määrittelemän funktion Fourier-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1 12

n Esimerkki 4. Tarkastellaan seuraavaa lineaarista systeemiä. Olkoon tulosuure x (t ) ja lähtösuure y (t ). Oletetaan edelleen, että systeemiä kuvaa differentiaaliyhtälö Langattomien laitteiden matematiikka 1 13

Parsevalin yhtälö n Jaksottoman signaalin tapauksessa keskimääräisen tehon käsite on mielekäs vain silloin, kun signaali häviää jonkin äärellisen välin [a, b] ulkopuolella. Langattomien laitteiden matematiikka 1 14

n Keskimääräisen tehon sijasta käytetään signaalin energian käsitettä. Se määritellään yhtälöllä Langattomien laitteiden matematiikka 1 15

n Signaalin teho voidaan määrittää rajaarvona Langattomien laitteiden matematiikka 1 16

n Jos 0 < P < ∞, sanotan signaalia tehosignaaliksi. Langattomien laitteiden matematiikka 1 17

n Esimerkki 5. Määritä suorakaidepulssin f (t ) energia ja teho, kun Langattomien laitteiden matematiikka 1 18

6. 3 Erikoisfunktioiden Fmuunnoksia n Yksikköaskelfunktio määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1 19

n Esimerkki 6. Mielivaltaisesta funktiosta voidaan yksikköaskelfunktiolla ottaa tarkasteltavaksi mikä tahansa osa. Langattomien laitteiden matematiikka 1 20

Diracin deltafunktio n Määritellään apufunktio, jonka tutkimisella voidaan perustella Diracin deltafunktion muoto ja olemassaolo. Langattomien laitteiden matematiikka 1 21

n Diracin deltafunktiolla tarkoitetaan funktiota , joka toteuttaa seuraavat ominaisuudet: 1. (t ) = 0, kun t 0 2. Jos f on pisteessä t 0 jatkuva funktio, niin Langattomien laitteiden matematiikka 1 22

n n n Suure (t ) on itse asiassa distribuutio eli yleistetty funktio. Se ei siis ole reaalifunktio. Yksikköimpulssifunktion (t ) avulla voidaan muodostaa myös muita impulssifunktioita. Langattomien laitteiden matematiikka 1 23

n Esimerkki 7. Tutkitaan lauseketta Langattomien laitteiden matematiikka 1 24

n Mikäli sovitaan, että havaitaan yksikköaskelfunktion ja yksikköimpulssifunktion yhteys: Langattomien laitteiden matematiikka 1 25

n Ilman täsmällistä määrittelyä otetaan käyttöön distribuutioderivaatta Langattomien laitteiden matematiikka 1 26

6. 4 Konvoluutio ja korrelaatio n n Konvoluutio on erittäin keskeinen käsite signaalin- ja kuvankäsittelyssä. Sen avulla on mahdollista laskea systeemin vaste, kun impulssivaste on tiedossa. Langattomien laitteiden matematiikka 1 27

n Konvoluution yksi parhaista ominaisuuksista on, että se muuntuu Fourier-muunnoksessa kertolaskuksi taajuusalueessa. n Käydään läpi oppikirjan esimerkit. Langattomien laitteiden matematiikka 1 28

n Korrelaatiointegraali on hyvin paljon samankaltainen konvoluutiointegraalin kanssa: Langattomien laitteiden matematiikka 1 29

n Ja Fourier-muunnos muuntaa korrelaation aikatasossa taajuustason kertolaskuksi Langattomien laitteiden matematiikka 1 30

7. Diskreetti Fouriermuunnos ja - sarja Langattomien laitteiden matematiikka 1 31

7. 1 Johdantoa n n Tiedon digitalisointi johtaa matematiikan osalta lukujonojen käsittelytekniikoiden painottamiseen. Digitaalisessa signaalinkäsittelyssä näytteenotto tuottaa diskreettejä funktioita eli lukujonoja, joita prosessoidaan esim. spektrin avulla. Langattomien laitteiden matematiikka 1 32

n Palautetaan mieleen, että diskreetillä funktiolla eli lukujonolla tarkoitetaan funktiota, joka on määritelty vain erillisissä eli diskreeteissä pisteissä. Langattomien laitteiden matematiikka 1 33

7. 2 Diskreetin F-sarjan määrittely n n Oletetaan, että diskreetti funktio x on N -jaksoinen ja x : Z K. N-jaksoisen funktion x Fourier-sarja on Langattomien laitteiden matematiikka 1 34

n Kertoimet ck saadaan määritettyä kaavasta Langattomien laitteiden matematiikka 1 35

7. 3 Diskreetti F-muunnos (DFT) n N-jaksoisen funktion x : Z K diskreetillä Fourier-muunnoksella tarkoitetaan kompleksilukujonoa Langattomien laitteiden matematiikka 1 36

n Esimerkki 1. Laske jonon {1, 2, -5, 3} DFT. n Esimerkki 2. Suorita edellisen esimerkin käänteismuunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1 37

n n Huomataan, että kompleksiluvut X (k) ovat täsmälleen samat kuin funktion x(n) diskreetin F-sarjan kertoimet. Fourier-muunnokselle käytetään merkintää X (k) =DFT{x(n)} Langattomien laitteiden matematiikka 1 38

n n Diskreetille Fourier-muunnokselle voidaan määritellä myös käänteismuunnos. N-jaksoisen funktion x : Z K diskreetillä Fourier-käänteismuunnoksella tarkoitetaan kompleksilukujonoa Langattomien laitteiden matematiikka 1 39

n Käänteismuunnokselle voidaan käyttää merkintää IDFT{X (k)} = X -1 (n) Langattomien laitteiden matematiikka 1 40

7. 4 DFT: n soveltaminen käytäntöön n n Diskreetillä Fourier-muunnoksella on kätevää laskea konvoluutiota ja korrelaatiota. Täydennetään hieman teoriatietoja ja lasketaan muutamia esimerkkejä. Langattomien laitteiden matematiikka 1 41

7. 5 Jonon Fourier-muunnos n n Eräänlainen välimuoto jatkuvan funktion Fourier-muunnoksen ja jaksollisen jonon diskreetin N pisteen muunnoksen rinnalla on jonon Fourier-muunnos. Se saadaan x: n diskreetin F-muunnoksen ja käänteismuunnoksen avulla. Langattomien laitteiden matematiikka 1 42

n Jonon x : Z K Fourier-muunnos määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1 43

n n Muunnos on kuvaus R C. Se on olemassa, jos sarjan summa on äärellinen. Esimerkki. Määritä jonon x(n) Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1 44

n Esimerkki. Määritä jonon x(n) Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1 45