2 4 1 I asteen yhtl n Perusaskeleet

2. 4. 1 I asteen yhtälö n Perusaskeleet: (1) termi saa vaihtaa puolta, jos se samalla vaihtaa merkkiä 5 x = 4 x + 2 5 x – 4 x = 2 (2) yhtälön saa jakaa nollasta eroavalla luvulla (kaikki termit) (3) yhtälön saa kertoa nollasta eroavalla luvulla (kaikki termit) TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 1

Esimerkki 1 TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) Esimerkki 2 2

2. 4. 2 II steen yhtälö n Normaalimuoto n Ratkaisukaava n Reaalisten juurten lukumäärä riippuu neliöjuuren juurrettavasta D = b 2 – 4 ac eli diskriminantista TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 3

n n n Jos D > 0, niin reaalijuuria on kaksi, jos D = 0, niin reaalijuuria on yksi, jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaalisia juuria. Ei reaalijuuria. Kompleksijuuret 1 i. TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 4

Korkeamman asteen yhtälöt Kirjoitetaan tulomuotoon (ks opetusmoniste, tai lukion oppikirja) n esim: x 3–x 2+2=0 * tulomuoto * kuvaaja * Mathematica n TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 5

Itseisarvoyhtälö TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 6

Kaksi itseisarvoa Laaditaan merkkikaaviot itseisarvomerkkien sisällä oleville lausekkeille 1 -x + + 2 x+3 + + -3/2 TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 1 7

Kun x < -3/2 , niin 1 -x + + 2 x+3 + + -3/2 1 Ok ! TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 8

Kun -3/2 x < 1 , niin 1 -x + + 2 x+3 + + -3/2 1 Hylätään ! TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 9

Kun 1 x, niin 1 -x + + 2 x+3 + + -3/2 1 VASTAUS: x = -3 tai x = 5/3 TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) Ok ! 10

2. 6. Epäyhtälö n 1. 2. 3. Epäyhtälöä käsitellään kuten yhtälöä, ottaen huomioon seuraavat lisäykset kerrottaessa tai jaettaessa negatiivisella luvulla erisuuruusmerkki kääntyy epäyhtälöä ei saa jakaa tai kertoa x: n lausekkeella. (poikkeus x 2+1 yms. ) jos kerrotaan tai jaetaan kirjainvakiolla, niin on oltava huolellinen. TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 11

Esimerkki: Rj = [-4, ) TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 12

Esimerkki: Rj = R (epäyhtälö on totta kaikilla x R) TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 13

Esimerkki: Jos a > 2, niin TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) Jos a < 2, niin Jos a = 2, niin 14

II asteen epäyhtälö ks. opetusmoniste (s. 20 -21) vie epäyhtälö normaalimuotoon n ratkaise LHS: n nollakohdat n muodosta LHS: n merkkikaavio n kirjaa ey: n ratkaisujoukko n TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 15

Itseisarvoepäyhtälö Laaditaan merkkikaaviot itseisarvomerkkien sisällä oleville lausekkeille 1 -x + + 2 x+3 + + -3/2 TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 1 16

Kun x < -3/2 , niin 1 -x + + 2 x+3 + + -3/2 TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 1 17

Kun -3/2 x < 1 , niin 1 -x + + 2 x+3 + + -3/2 1 Hylätään ! TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 18

Kun 1 x, niin 1 -x + + 2 x+3 + + -3/2 1 VASTAUS: x < -3 tai x > 5/3 TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) Ok ! 19

Murtoepäyhtälö n MUISTA: nimittäjän nollakohta ei kuulu ratkaisujoukkoon TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 20

x + + + 2 -x + + + + x-1 0 1 2 Vastaus: x 0 tai 1 < x 2 TMA. 003 / L 3 (16. 9. 2003) 21