4 Optimointia T 055403 4 1 Eplineaarinen yhtl

4. Optimointia T 055403

4. 1 Epälineaarinen yhtälö n Kertausta. Kurssissa Matematiikka 2 ratkaistiin epälineearisia yhtälöitä Newtonin menetelmällä: n Iteraation aloittamiseksi tarvittiin alkuarvaus, ja sen jälkeen saatiin aina tarkempia ja tarkempia likiarvoja yhtälön ratkaisuille: T 055403

n Esimerkki. Ratkaise yhtälö n Esimerkki. Ratkaise aloituspistettä 0. käyttäen T 055403

n Newtonin menetelmää voidaan käyttää myös varsin hyvin yhden muuttujan funktion minimin määrittämiseen: T 055403

n n Esimerkki. Etsi funktion minimi Esimerkki. Etsi funktion välillä [-2, 2] minimi T 055403

4. 2 Usean muuttujan funktion minimointi n Tähän mennessä on huomattu, että usean muuttujan funktion kriittiset pisteet löytyvät yhtälön ratkaisuina. n Tämä yhtälö on usein epälineaarinen, ja sen ratkaisu käytännössä johtaa iteratiivisen ratkaisumenetelmän käyttöön. T 055403

n Tämä voidaan helposti ohjelmoida, ja se tunnetaan nimellä Newtonin menetelmä epälineaarisen yhtälöryhmän g(x) = 0 ratkaisemiseksi. T 055403

n Ratkaisussa tarvittava Jacobin matriisi: T 055403

n Esimerkki. Ratkaise epälineaarinen yhtälöryhmä Newtonin menetelmällä käyttäen aloituspistettä (1 1)T: T 055403

n Esimerkki. Ratkaise funktion kriittiset pisteet käyttäen aloituspistettä (2 -5)T ja (-5, 1)T ja laske 3 iteraatiota. T 055403

n Reaaliarvoiselle funktiolle määritellään Hessen matriisi toisen kertaluvun osittaisderivaattojen avulla T 055403

n Mikäli aiemmin ollessa iteratiivisessa menetelmässä epälineaarisen yhälöryhmän ratkaisualgoritmissa valitaan g(x) = grad(f(x)) saadaan Newtonin menetelmä funktion f(x) minimin määrittämiselle: T 055403

n Esimerkki. Määritä funktion minimi käyttäen aloituspistettä (1 -2)T. n Esimerkki. Määritä minimi funktiolle käyttäen aloituspistettä (1 0)T. T 055403