5 1 Tason yhtl vastaan kohtisuorassa Pisteen x

5. 1. Tason yhtälö vastaan kohtisuorassa Pisteen (x 0, y 0. z 0) kautta kulkevan ja vektoria olevan tason yhtälö on a(x – x 0) + b(y – y 0) + c(z – z 0) = 0 E. 1. Määritä jokin tason 2 x – 3 y + z + 6 = 0 jokin normaalivektori E. 2. Taso kulkee pisteen (5, -1, -4) kautta ja on kohtisuorassa vektoria vastaan. Määritä tason yhtälö. TAPA 2 4(x – 5) - 3(y + 1) + 2(z + 4) = 0 Tason yhtälö muotoa 4 x – 20 – 3 y – 3 + 2 z + 8 = 0 4 x – 3 y + 2 z + d = 0 4 x – 3 y + 2 x – 15 = 0 Tason piste (5, -1, -4): 4 5 – 3 (-1) + 2 (-4) + d = 0 d = -15 4 x – 3 y + 2 z + d = 0

5. 2 Suoran asema tasoon nähden Katso kuva s. 127 E. 1. Osoita, että suora on tasossa 3 x – 2 y + z – 8 = 0 Sijoitetaan suoran mielivaltainen piste (3 + t, 1 + 2 t, 1 + t) tason yhtälöön: 3(3 + t) – 2(1 + 2 t) + (1 + t) – 8 = 0 9 + 3 t – 2 – 4 t + 1 + t – 8 = 0 0=0 tosi kaikilla parametrin t arvoilla. Täten suora on tasossa.

E. 2. Osoita, että suora on yhdensuuntainen tason 2 x – y + z + 1 = 0 kanssa, mutta ei ole tämän tason suora. Suora on tason suuntainen, jos se on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan. Suoran suuntavektori: Tason normaalivektori: suora on tason suuntainen Suoran pisteessä (0, 2, 2) : 2 0 – 2 + 1 = 1 ≠ 0, joten suora ei ole tasossa.

E. 3. Määritä suoran Koordinaatit toteuttavat tason yhtälön: x+y–z– 4=0 1–t+2–t+3+t– 4=0 -t + 2 = 0 t=2 x = 1 – 2 = -1 y=2– 2=0 z=3+2=5 Leikkauspiste: (-1, 0, 5) ja tason x + y + z - 4 = 0 leikkauspiste.

5. 3 Tasojen keskinäinen asema (katso s. 131) E. 1. Määritä tasojen yhteiset pisteet. a) 2 x + y – z +1 = 0 ja x – y – 2 z + 2 = 0 Normaalivektorit: ovat erisuuntaisia, koska Tasot leikkaavat pitkin suoraa Merkitään z = t Tasojen leikkaussuoran yhtälö 3 x = 3 z - 3 x =z-1 y = -2 x + z – 1 = -2(z – 1) + z – 1 = -z + 1 Tasot leikkaavat pitkin suoraa, joka kulkee pisteen (-1, 1, 0) kautta ja on vektorin suuntainen

b) x – 2 y – z + 2 = 0 ja – 2 x + 4 y + 2 z + 5 = 0 T 1: x – 2 y – z + 2 = 0 T 2: – 2 x + 4 y + 2 z + 3 = 0 Koska niin normaalivektorit ja täten myös tasot ovat yhdensuuntaiset Piste (0, 1, 0) tasossa T 1, mutta ei tasossa T 2, sillä -2 x + 4 y + 2 z + 3 = -2 0 + 4 1 + 2 0 + 5 = 9 ≠ 0. Siis tasot ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, joten niillä ei ole yhtään yhteistä pistettä.

c) –x + 3 y + z – 2 = 0 ja 3 x – 9 y – 3 z + 6 = 0 Jaetaan tason 3 x – 9 y – 3 z + 6 = 0 yhtälö luvulla -3 saadaan -x + 3 y +z - 2 = 0 Siis tasot ovat yksi ja sama taso ja yhteisiä pisteitä ovat kaikki tämän tason pisteet.

E. 2. Millä vakion a arvolla tasot 2 x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8 y – 2 z – 1 = 0 ovat a) yhdensuuntaiset b) toistensa normaalitasot a) Tasot ovat yhdensuuntaiset, jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset Siis on olemassa luku t siten, että Tutkitaan, toteuttaako ratkaisu myös kolmannen yhtälön: 2 = -½ (-4) 2=2 tosi, siis toteuttaa Tasot yhdensuuntaiset, kun a = -4

E. 2. Millä vakion a arvolla tasot 2 x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8 y – 2 z – 1 = 0 ovat b) toistensa normaalitasot Tasot ovat toistensa normaalitasoja, kun niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

Tasojen välinen kulma = tasojen normaalien välinen kulma E. 4. Laske tasojen 2 x – y – 2 z + 6 = 0 ja x + 2 y – 2 z – 8 = 0 välinen kulma

Kolmen tason keskinäinen asema

E. 1. Määritä tasojen yhteiset pisteet a) 2 x – 3 y – z – 4 = 0, 3 x + 4 y + z – 5 = 0 ja 4 x + 5 y – 2 z + 3 = 0 1 1 2 1 5 x + y -9=0 10 x +13 y V: Yhtälöryhmän ratkaisu piste (2, -1, 3) -7 = 0 x sijoittamalla: (-2) 10 x + 13 (-1) – 7 = 0 10 x = 20 x=2 z sijoittamalla: 11 y + 11 = 0 y = -1 3 2 + 4 (-1) + z – 5 = 0 z=3

E. 1. Määritä tasojen yhteiset pisteet b) x + y + z – 1=0 , -2 x + y -2 z + 2 = 0 ja 4 x + y +4 z = 0 2 1 3 y -1=0 3 y +4=0 V: Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua eikä tasoilla näin ollen yhtään yhteistä pistettä

E. 1. Määritä tasojen yhteiset pisteet c) 2 x + y + z – 1 = 0, -2 x + y - 2 z + 2 = 0 ja 2 x - 3 y + 3 z - 3 = 0 2 y - z + 1 = 0 -2 y + z – 1 = 0 Tasojen yhteiset pisteet muodostavat suoran kulkee pisteen (0, 0, 1) kautta ja on vektorin Sijoittamalla z = 2 y + 1 yhtälöön: 2 x + y + (2 y + 1) – 1 = 0 2 x + 3 y = 0 suuntainen