1 1 Nhny alapfogalom egysms amit tudni illik

1. 1. Néhány alapfogalom egy-s-más, amit tudni illik 1

Analitikus geometria – mi az? • Koordináta-geometria • A geometriának az az ága, amely a geometriai alakzatokat és a köztük fönnálló kapcsolatokat vizsgálja koordinátarendszer bevezetésével; az algebra, elsősorban a lineáris algebra eszközeivel. • A geometriai feladatok megoldása szintetikus geometriai módszerek (pl. szerk. ) helyett az alakzatok koordinátáin végzett számításokkal • Feladata: a geometriailag jellemzett alakzatok leíró egyenleti, és ezekből geometriai következtetéseket levonása. (Például két egyenes metszéspontját meghatározni. ) (L. még: Wiki) 2

Ekvivalencia relációk • Egy halmaz elemeire értelmezett reflexív, szimmetrikus és tranzitív reláció (: §) a halmaz bármely a, b, c H elemére a § a; a reláció reflexív ha a § b => b § a; szimmetrikus ha a § b és b § c => a § c; tranzitív • Ekvivalencia reláció például: - a tér egyeneseinek párhuzamossága, a || b || c … - algebrai vektorok arányossága (1, 2, 3, 4) ~ (2, 4, 6, 8) - 7 10 (mod 3) [ maradéka 3 -mal osztva 1] 3

Ekvivalencia osztály • Egy halmazon értelmezett ekvivalencia reláció az elemeket ekvivalencia-osztályokba sorolja • A H halmaz egy x elemének a § reláció szerint ekvivalencia osztálya: az a H x H részhalmaz, amelynek minden y H x elemére: y § x. • Például: a tér egy adott egyenessel párhuzamos egyenesei • Például: az (1, 2, 3, 4) –gyel arányos számnégyesek halmaza: { (h · a, h · b, h · c, h · d); h ≠ 0 } Például: a hárommal osztható számok halmaza: {a; a ≡ 0 (mod 3)}. • L. még Wiki 4

Vektor szorzása mátrixszal • Az X pont helyvektora: X = (x, y, z)T nálam oszlopvektor (de a T-t általában elspórolom) • X’ = A 33 X = a 11 a 12 a 13 x = a 21 a 22 a 23 y a 31 a 32 a 33 z = a 11 x + a 12 y + a 13 z = x’ a 21 x + a 22 y + a 23 z = y’ a 31 x + a 32 y + a 33 z = z’ = (x’, y’, z’)T

Mátrix szorzása vektorral • Az X sorvektor: X = (x, y, z); ezzel: • X” = X A 33 = (x y z) a 11 a 12 a 13 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 x + a 21 y + a 31 z = ( x” y” z” ) a 12 x + a 22 y + a 32 z a 13 x + a 23 y + a 33 z • (x” y” z” ) (x’ y’ z’)T

Mátrix szorzása mátrixszal C 33 = A 33 B 33 = a 11 a 12 a 13 b 11 b 12 b 13 a 21 a 22 a 23 b 21 b 22 b 23 a 31 a 32 a 33 b 31 b 32 b 33 c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 c 13 = a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31. . . cik = ai 1 b 1 k + ai 2 b 2 k + ai 3 b 3 k = ai* b*k

Vektor tér – lineáris tér (1) • Egy V nem üres halmazt vektortérnek nevezünk az S test felett, ha 1. A V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet ; V + V → V függvény, 2. S és V között értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet , S · V → V függvény, úgy, hogy az alábbi azonosságok, (az ú. n. vektortér-axiómák) teljesülnek: 8

Vektor tér – lineáris tér (2) • úgy, hogy az ú. n. vektortér-axiómák teljesülnek: 1. V az összeadásra nézve kommutatív csoport, azaz a + – asszociatív: minden u, v, w V ; u + (v + w) = (u + v) + w. – kommutatív u + v = v + u. – Létezik null-elem 0 V, (V „nullvektora): v + 0 = v, minden v-re – invertálható: van olyan -v V : (-v) + v = 0. 2. A skalárral való szorzás disztributív: – minden λ , μ F és minden u, v V, re: λ(u + v) = λu + λv. – (λ + μ)v = λv + μv. – λ(μv) = (λμ)v. – és 1 v = v, ahol 1 az F test egységeleme. 9

Lineáris terek (vektor-terek), 2 Például vektor tér: - A geometriai vektorok halmaza - a valós számpárok (szám n-esek) halmaza, - { pk(x); k n}: a legfeljebb n-edfokú polinómok halmaza, - { f(x); f(x) : [a, b] R, f(x) folytonos }, - stb.

„Algebrai vektorok” • Rn ; pl. : R 3 elemei: u = (u 1, u 2, u 3) vektortér elemei • Műveletek: ( u ± v) = (u 1 ± v 1 , u 2 ± v 2 , u 3 ± v 3 ) c · u = (c · u 1, c · u 2, c · u 3 ) u · v = (u 1 · v 1 + u 2 + v 2 , u 3 + v 3 ) 11

Metrikus tér • lineáris tér, amelyben értelmezve van bármely két elem távolsága, és erre: d(a, b) 0 d(a, b) = d(b, a) d(a, b) = 0, acsaha a = b d(a, b) d(a, c) + d(c, b) (a háromszög-egyenlőtlenség) • Euklideszi tér: metrikus tér, amelyben: d = (x 2 -x 1)2+(y 2 -y 2)2+…

Az euklideszi tér En • Az euklideszi axiómáknak megfelelő halmaz; a vektor: irányított szakasz • Vektortér: { (x 1, x 2, …, xn) } • Ezek azonos szerkezetűek szóhasználatunkban egy vektor lehet ez is – az is. • ( n = 2, 3)

„Geometriai vektorok” (1) • A szemléletes geometriában: irányított szakaszok • Egy egyenesen két pont kijelöl egy szakaszt: azon pontok halmaza, amelyek a két pont "között" vannak. Egy szakasz irányítása: K két végpontja közül az egyiket kiválasztjuk kezdőpontnak (és a másikat végpontnak). • Egy vektor állása: irányítása: iránya: hossza: egyenesének állása K V, vagy V K állása és irányítása a KV távolság; jelölése: |v| V V 14

„Geometriai vektorok” (2) • Egy vektort meghatározza hossza és iránya. „szabad vektor” (szabad, mert nincs helyhez kötve) • „Kötött vektor”: (Pl. pontok helyvektora) a tér egy adott pontjából „kiinduló” vektor: • A fizikában ezen kívül: - az erővektor „támadáspontja”. pl. a libikókán ülőre ható nehézségi erővektor - de az erők a hatásirányban áthelyezhetők pl. kötélhúzás 15

Műveletek geometriai vektorokkal, 1 • a = b, ha irányuk és hosszuk megegyezik, nincs helyhez kötve! (fizikában néha) • c = a + b : láncszabály, parallelogramma szabály • c = a - b : a közös pontból indított b végéből a végébe. • 0: nullvektor; hossza 0, iránya akármi (!) § l a: állása = a állásával, hossza |l| |a|, irányítása megegyezik, vagy ellenkező. • - a: hossza megegyezik, iránya ellentétes a-val.

Műveletek geometriai vektorokkal, 2 a b = |a| |b| cos f; szám, 0 f p a b = 0, ha a merőleges b -re, a b > 0, ha 0 f p/2, a b < 0, ha p/2 f p, a × b = ( |a| |b| sin f ) n 0; 0 f p; a × b = 0, ha a || b, különben a × b : az a és b síkjára merőleges a, b és a × b jobbos rendszert alkotnak | a × b | = a parallelogramma területe

Geometriai vektorok a DKR-ben • A P pont helyvektora: OP vektor P • Koordinátás alakja: (px, py, pz) • Műveletek: a számhármasok algebrája: O (a, b, c) ± (d, e, f) = (a ± d, b ± e, c ± f) (0, 0, 0) a nullelem l (a, b, c) = (l a, l b, l c) (a, b, c) (d, e, f) = (a d + b e + c f) (a, b, c) × (d, e, f) = (szám) (vektor) = i j k = ( b f-c e, -a f + c d, a e - b d ) a b c d e f

Vektorokról … • Gyapjas Ferenc: Lineáris algebra és geometria, ELTE Jegyzet, Nemzeti Könyvkiadó, Budapest, többszöri utánnyomás (pl. 2003) • Pogáts Ferenc: Vektorok, koordinátageometria, trigonometria Tankönyvkiadó, Budapest, 1992 • Scharnitzky Viktor: Vektorgeometria és lineáris algebra Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1993 19

Továbbiak: • G 11*. html • G 12*. html (pointilista festészet)