Vorlesung 20 Roter Faden Heute Schwingungen mit Dmpfung

Vorlesung 20: Roter Faden: Heute: Schwingungen mit Dämpfung Versuche: Computersimulation 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1

Formale Einführung der Zahl i Zahlenpaare sind extrem nützlich um Schwingungen zu beschreiben, da eine Schwingung durch ZWEI Zahlen beschrieben wird, nämlich Amplitude und Phase! 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2

Darstellung der komplexen Zahlen x+iy = r (cos + i sin ) = r e i 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3

Rechenregel 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4

Ungedämpfte Schwingungen Lösung mit complexen Zahlen: x(t)=A e i t+. Einsetzen ergibt: -m 2 Ae i t+ = -k Ae i t+ x(t) = A e i (k/m) t+ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos (k/m) t+ 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5

Ungedämpfte Schwingungen Lösung mit complexen Zahlen: x(t)=A e i t+. Einsetzen ergibt: -m 2 Ae i t+ = -k Ae i t+ x(t) = A e i (k/m) t+ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos (k/m) t+ 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6

Energieerhaltung bei ungedämpften Schwingungen Was passiert wenn Energieverluste durch Reibung auftreten? Reibung i. A. proportional vn, oft n 1 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 7

Gedämpfte Schwingungen Addiere Reibungskraft –bv zur Federkraft –kx: 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8

Gedämpfte Schwingungen Exponentieller Abfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9

Lösung mit komplexen Zahlen: x(t)=A e t Einsetzen in mx+bx+kx=0 ergibt: m 2 - b +k =0 oder = -b/2 m 1/(2 m) (b 2 -4 mk) x(t) = A e –bt/2 m e (b 2/4 m 2 -k/m) t =A e –bt/2 m e i t w= (b 2/4 m 2 -k/m) Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos t (Anfangsphase 0 gesetzt) 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10

Energie der gedämpften Schwingungen 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 11

Berechnung des Q-Faktors 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12

Schwingungssimulator 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13

Zum Mitnehmen Gedämpfte Schwingungen beschrieben durch exponentieller Abfall der Amplitude 18 Dezember 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14