UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ARHITEKTURO OPISNA GEOMETRIJA
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ARHITEKTURO OPISNA GEOMETRIJA PRESEKI RAVNIN MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR AVTORICA: KATJA CENTRIH
PRESEKI RAVNIN Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo točke, ki so skupne obema ravninama. To premico imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2 skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico. e 2’’ f 2’’ Če sta e 1 in e 2 slednici ravnine E, f 1 in f 2 pa slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata e 1 in f 1) in 2 (v kateri se sekata e 2 in f 2) skupni točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako presečnica ravnin E in Φ. p’’ X 1’’ 2’ E 0 Φ 0 p’ 1’ e 1’ f 1’
PODATKI: PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA Ravnina E (-3, 5/2, 7/2) Ravnina Φ (6, 3, 5) z e 2’’ f 2’’ S 2’’ V sečišču slednic e 1’ in f 1’ dobimo prvo točko presečnice obeh ravnin – S 1’, ki jo prenesemo tudi v narisno ravnino - S 1’’. p’’ V sečišču slednic e 1’’ in f 1’’ dobimo drugo točko presečnice obeh ravnin – S 2’’, ki jo nato prenesemo še v tlorisno ravnino – S 2’. S 1’’ S 2’ X 1, 2 V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici ravnine E – e 1’ in e 2’’ in nato še slednici ravnine Φ - f 1’ in f 2’’. 0 Točki S 1 in S 2 sta hkrati sledišči presečnice. p’ Točki S 1’ in S 2’ povežemo in s tem dobimo presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini. Povežemo tudi točki S 1’’ in S 2’’, s čimer dobimo presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini. S 1’ f 1’ e 1’ y
PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E PODATKI: Ravnina Φ je podana z vzporednicama a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)] Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞) V koordinatni sistem vrišemo podatke – vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s slednicama e 1’ in e 2’’. z e 2’’ a’’ Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu neposredno dani. B’’ b’’ 1’’ Kjer slednica e 1’ seka premico a’, dobimo prvo prebodišče 1’. Kjer slednica e 1’ seka drugo premico b’, dobimo drugo prebodišče 2’. Slednica e 1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ (e 1’ = s’). 2’’ s’ C’’ A’’ B’ 0 X 1, 2 Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino. Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’ pa na drugi premici b’’. Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’ ravnin E in Φ v narisni ravnini. 1’ 2’ s’ e 1’ A’ C’ b’ y a’
PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SEČNICAMA PODATKI: Ravnina E - p [P(1/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)] Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)] DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ, ki je podana s sečnicama m in n. z Ez e 2’’ 8’’ 4’’ m’’ S’’ p’ X 1, 2 3’ c R’’ Ex 4’ f 2’’ L’’ J’’ 2’’ 6’’ 1’’ 5’’ ΦX 7’ 8’ 1’ c 3’’ n’’ K’’ ΦZ P’’ r’’ K’ p’’ Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ, moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin. V ta namen pa moramo najprej določiti slednici obeh ravnin. n’ S’ J’ P’ e 1’ 5’ r’ L’ R’ 2’ Ey Φy 6’ y m’ f 1’ 7’’ Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’ seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži na r’). Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo slednico e 1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te ravnine - Ex in Ey. Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x, dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo še drugo slednico e 2’’ ravnine E, ter sledišče ravnine Ez. Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je postopek enak.
PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SEČNICAMA PODATKI: Ravnina E - p [P(1/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)] Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)] DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic Presečišče prvih slednic obeh ravnin e 1’ in f 1’ je prva točka presečnice S 1’, ki jo prenesemo še v narisno ravnino – točka S 1’’. z Ez e 2’’ P’’ 4’’ X 1, 2 3’ c Ex 4’ 1’’ f 2’’ L’’ J’’ R’’ 2’’ S 1’’ 6’’ S 2’ 5’’ ΦX 7’ 8’ 1’ c 3’’ V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki presečnice S 1 in S 2, dobljena premica je presečnica s ravnin E in Φ. 8’’ s’’ S’’ Presečišče drugih slednic obeh ravnin e 2’’ in f 2’’ predstavlja drugo točko presečnice S 2’’, ki jo nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S 2’. n’’ K’’ ΦZ r’’ p’ K’ p’’ S 2’’ n’ S’ s’ e 1’ m’’ 5’ J’ P’ L’ r’ R’ 2’ Ey Φy 6’ S 1’ y m’ f 1’ 7’’
PODATKI: Ravnina E - p [P(1/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)] Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)] DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic p’’ z 4’’ K’ s’’ 1’’ n’’ r’’ S’’ Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica 1’ 2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na premici n’’. 6’’ L’’ R’’ J’’ 5’’ 2’’ p’ J’ s’ r’ R’ m’’ 3’’ P’ S’ m’ 4’ L’ 6’ n’ 5’ 2’ y 3’ V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R, S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ). Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’ prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici (točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’). K’’ PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SEČNICAMA 1’ Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’ ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’ prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici (točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’). Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer premica 4’’ 5’’ seka premico m’’, dobimo drugo prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’. V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.
PODATKI: Ravnina Φ paralelograma ABCD Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D] Ravnina E trikotnika JKL E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2, 0)] z C’’ s’ V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E. J’’ 2’’ 4’’ B’’ PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’. 3’’ D’’ 1’’ 6’’ Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica 1’ 2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’. K’’ K’ X 1, 2 5’’ 0 A’’ L’’ C’ 2’ s’ B’ 5’ 3’ L’ 6’ 1’ 4’ A’ D’ V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’ in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na ustrezni stranici. V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer premica 4’’ 5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’, dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’. V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E. y J’
PODATKI: Ravnina Φ paralelograma ABCD Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D] Ravnina E trikotnika JKL E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2, 0)] PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV z C’’ s’ PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST! 2’’ 4’’ B’’ J’’ 3’’ D’’ 1’’ 6’’ K’ A’’ X 1, 2 5’’ 0 L’’ C’ 2’ s’ B’ 5’ 3’ L’ 6’ 1’ 4’ A’ y D’ J’
- Slides: 9