Szavaz koalcik Szavazsi hatalom Rtz Lszl Vndorgyls Koncz

Szavazó koalíciók Szavazási hatalom Rátz László Vándorgyűlés Koncz Levente Óbudai Árpád Gimnázium 2017. július 6.

1 Fogalmak Alaphelyzet: Egy közösségben (osztály, Parlament, kongresszus, egy részvénytársaság. . . ) minden tag leadhat egy bizonyos számú szavazatot. A döntéshez bizonyos (egyszerű, kéthamados. . . ) többség szükséges. A testület tagjainak egy részhalmaza koalíciót alkothat azért, hogy akaratukat keresztülvigyék. Alapfogalmak: Nyerő koalíció: Olyan koalíció, melynek tagjai elég szavazattal rendelkeznek ahhoz, hogy elhatározásukat érvényesítsék. Vesztő koalíció: Olyan koalíció, melyre a koalíción kívüli tagok tetszésük szerint befolyásolhatják a szavazást. Akadályozó koalíció: Olyan koalíció, melyre sem a koalíció tagjai, sem a koalíción kívüliek nem képesek keresztülvinni az akaratukat. Észrevételek: Nyerő koalíció komplementere vesztő koalíció, vesztő koalíció komplementere nyerő koalíció, akadályozó koalíció komplementere akadályozó koalíció. Egy C koalíció pontosan akkor akadályozó koalíció, ha sem C, sem C komplementere nem nyerő koalíció.

2 Példák – adjuk meg a nyerő, a vesztő és az akadályozó koalíciókat! 1. példa Egy hat emberből álló közösség minden tagja egyszer szavazhat. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. NY: bármely legalább négy emberből álló koalíció. V: bármely legfeljebb két emberből álló koalíció. A: bármely pontosan három emberből álló koalíció. 2. példa Egy hat emberből álló közösség minden tagja egyszer szavazhat, kivéve az elnököt, akinek két szavazata van. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. NY: bármely legalább négy emberből álló koalíció, és azok a három emberből álló koalíciók, melyeknek tagja az elnök. V: bármely legfeljebb két emberből álló koalíció, és azok a három emberből álló koalíciók, melyeknek nem tagja az elnök. A: nincs

3 Példák – adjuk meg a nyerő, a vesztő és az akadályozó koalíciókat! 3. példa A magyar Országgyűlés képviselőinek száma (összesen 199): Fidesz 114, MSZP 29, Jobbik 24, KDNP 17, LMP 5, DK 4, Együtt 2, PM 1, MLP 1, független 2. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. NY: bármely koalíció, mely a Fideszt tartalmazza. V: bármely koalíció, mely a Fideszt nem tartalmazza. A: nincs 4. példa A magyar Országgyűlés képviselőinek száma (összesen 199): Fidesz 114, MSZP 29, Jobbik 24, KDNP 17, LMP 5, DK 4, Együtt 2, PM 1, MLP 1, független 2. A döntésekhez kétharmados többség (133 szavazat) szükséges. NY: sokféle, legalább 133 képviselő V: sokféle, legfeljebb 66 képviselő A: sokféle, legalább 67, de legfeljebb 132 képviselő

4 Példák – adjuk meg a nyerő, a vesztő és az akadályozó koalíciókat! 5. példa Európai Parlament: Néppárt (EPP) 217 (12 magyar), Szocialista Párt (PES) 189 (4 magyar), Konzervatívok és Reformerek (ECR) 74, Liberálisok és Demokraták (ALDE) 68, Egyesült Baloldal (GUE) 52, Zöldek 51 (2 magyar), Farage 42, Le Pen 40, függetlenek 18 (3 magyar) (összesen 751). A döntésekhez egyszerű többség (376 szavazat) szükséges. NY: például EPP+PES V: például EPP+ECR+Farage+Le Pen vagy EPS+ALDE+GUE+Zöldek A: nincs 6. példa Az ENSZ Biztonsági Tanácsa: 5 nagyhatalom (USA, RUS, GBP, CHI, FRA) és 10 kis állam. A döntésekhez 9 szavazat, köztük az öt nagyhatalom igen szavazata szükséges (a tartózkodást tekinthetjük nemleges szavazatnak). NY: bármely olyan legalább 9 tagú koalíció, melynek része az 5 nagyhatalom V: bármely olyan legfeljebb 6 tagú koalíció, mely csak kis államokból áll A: bármely 7 vagy 8 tagú koalíció, továbbá azon legalább 9 tagú koalíciók, melyeknek nem része mind az 5 nagyhatalom, továbbá azon legfeljebb 6 tagú koalíciók, melyeknek része legalább egy nagyhatalom

5 Fogalmak Alapfogalmak: Legkisebb nyerő koalíció: Az a nyerő koalíció, amely nem tartalmaz részhalmazként önmagánál kisebb nyerő koalíciót. Diktátor: Az a tag, aki minden javaslatot keresztülvihet anélkül, hogy valaki is vele szavazna. Jogfosztott: Az a tag, aki nem tagja egyetlen legkisebb nyerő koalíciónak sem. Vétójoga van annak a tagnak, aki szavazatával meggátolhatja egy javaslat elfogadását (de nem diktátor). Észrevételek: Az x tag akkor és csak akkor diktátor. . . ha {x} nyerő koalíció. Az x tagnak akkor és csak akkor van vétójoga. . . ha {x} akadályozó koalíció. Az x tag akkor és csak akkor jogfosztott. . . ha minden olyan nyerő koalíció, amelynek x tagja. . . nyerő koalíció x nélkül is.

6 Példák – adjuk meg a legkisebb nyerő koalíciókat, diktátorokat, vétójogúakat, jogfosztottakat! 1. példa Egy hat emberből álló közösség minden tagja egyszer szavazhat. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. L: bármely négy emberből álló koalíció D, V, J: nincs 2. példa Egy hat emberből álló közösség minden tagja egyszer szavazhat, kivéve az elnököt, akinek két szavazata van. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. L: bármely négy emberből álló koalíció, melynek nem tagja az elnök, továbbá bármely három emberből álló koalíció, melynek tagja az elnök D, V, J: nincs

7 Példák – adjuk meg a legkisebb nyerő koalíciókat, diktátorokat, vétójogúakat, jogfosztottakat! 3. példa A magyar Országgyűlés képviselőinek száma (összesen 199): Fidesz 114, MSZP 29, Jobbik 24, KDNP 17, LMP 5, DK 4, Együtt 2, PM 1, MLP 1, független 1. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. L: Fidesz D: Fidesz (ebben értelemben persze „diktátor” minden olyan egypárti kormány is, amelynek egyedül parlamenti többsége van) V: nincs J: Fideszen kívül mindenki 4. példa A magyar Országgyűlés képviselőinek száma (összesen 199): Fidesz 114, MSZP 29, Jobbik 24, KDNP 17, LMP 5, DK 4, Együtt 2, PM 1, MLP 1, független 2. A döntésekhez kétharmados többség (133 szavazat) szükséges. L: Fidesz+MSZP, Fidesz+Jobbik, Fidesz+KDNP+még 2 szavazat D: nincs V: Fidesz J: nincs (PM és MLP sem: Fidesz+KDNP+PM+MLP)

8 Példák – adjuk meg a legkisebb nyerő koalíciókat, diktátorokat, vétójogúakat, jogfosztottakat! 5. példa Európai Parlament: Néppárt (EPP) 217 (12 magyar), Szocialista Párt (PES) 189 (4 magyar), Konzervatívok és Reformerek (ECR) 74, Liberálisok és Demokraták (ALDE) 68, Egyesült Baloldal (GUE) 52, Zöldek 51 (2 magyar), Farage 42, Le Pen 40, függetlenek 18 (3 magyar) (összesen 751). A döntésekhez egyszerű többség (376 szavazat) szükséges. L: sokféle, például EPP+PES D: nincs V: nincs J: nincs 6. példa Az ENSZ Biztonsági Tanácsa: 5 nagyhatalom (USA, RUS, GBP, CHI, FRA) és 10 kis állam. A döntésekhez 9 szavazat, köztük az öt nagyhatalom igen szavazata szükséges (a tartózkodást tekinthetjük nemleges szavazatnak). L: bármely 9 tagú koalíció, melynek tagja az 5 nagyhatalom D: nincs V: az 5 nagyhatalom J: nincs

9 Igaz vagy hamis? 1. Ha egy testületben van diktátor, akkor a többiek jogfosztottak. igaz 2. Ha egy testületben van jogfosztott, akkor van diktátor is. hamis (pl. 2 -2 -1 szavazat, a döntéshez 4 szavazat kell) 3. Ha egy testületben van vétójoggal rendelkező személy, akkor diktátor nem lehet benne. igaz 4. Egy testületben nem lehet minden tagnak vétójoga. hamis (pl. 1 -1 -1 szavazat, a döntéshez 3 szavazat kell)

10 Kérdések Fejezd be és bizonyítsd be! Bármely két legkisebb nyerő koalícióban. . . legalább egy tag közös. Hány részvény kell. . . egy részvénytársaságban a diktátorsághoz ill. a vétójoghoz, ha a részvénytársaság 1000 részvényt bocsát ki, és a döntésekhez a) egyszerű többség szükséges? diktátor: 501, vétó: 500 b) kétharmados többség szükséges? diktátor: 667, vétó: 334

11 Kérdések Jól méri-e egy testületben a tagok szavazatainak száma a hatalmukat? Nem

12 Szavazási hatalom Lloyd Shapley-Martin Shubik (1954) L. Shapley (1923 -2016) közgazdasági Nobel-díjas (2012) M. Shubik (1926 -) Rendezzük el a testület n tagját x 1, x 2, . . . , xn sorrendben. Tegyük fel, hogy x 1 -től kezdve sorban mind az adott javaslat elfogadására szavaznak. Kulcsszemélynek nevezzük azt a tagot, aki a „sorsdöntő” szavazatot leadja: tehát ha {x 1, x 2, . . . , xi} nyerő koalíció, de {x 1, x 2, . . . , xi – 1} nem nyerő koalíció, akkor xi a koalíció kulcsszemélye. Egy közösség adott tagjának szavazási hatalmát úgy mérhetjük, hogy azoknak az elrendezéseknek a számát, amelyekben az adott tag kulcsszemély, elosztjuk az összes elrendezések számával (n!).

13 Szavazási hatalom Példa Egy négytagú testületben A-nak 3, B-nek 2, C-nek és D-nek 1 -1 szavazata van. A döntésekhez 5 szavazat szükséges. Határozzuk meg az egyes tagok hatalmát! Megoldás ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA A hatalma 14/24 ≈ 0, 583; B hatalma 6/24 = 0, 25, C és D hatalma 2/24 ≈ 0, 083. Észrevétel: Egy testületben a szavazási hatalmak összege. . . mindig 1.

14 Példák – számítsuk ki a tagok szavazási hatalmát! 1. példa Egy hat emberből álló közösség minden tagja egyszer szavazhat. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. minden tag hatalma egyforma: 1/6 2. példa Egy hat emberből álló közösség minden tagja egyszer szavazhat, kivéve az elnököt, akinek két szavazata van. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. az elnök pontosan akkor kulcsszemély, ha a szavazási sorban a harmadik vagy a negyedik helyen áll, tehát hatalma 1/3 = 5/15 a többiek hatalma egyforma: (1 – 1/3) : 5 = 2/15

15 Példák – számítsuk ki a tagok szavazási hatalmát! 3. példa A magyar Országgyűlés képviselőinek száma (összesen 199): Fidesz 114, MSZP 29, Jobbik 24, KDNP 17, LMP 5, DK 4, Együtt 2, PM 1, MLP 1, független 2. A döntésekhez egyszerű többség szükséges. a Fidesz hatalma 1, a többieké 0 4. példa A magyar Országgyűlés képviselőinek száma (összesen 199): Fidesz 114, MSZP 29, Jobbik 24, KDNP 17, LMP 5, DK 4, Együtt 2, PM 1, MLP 1, független 2. A döntésekhez kétharmados többség (133 szavazat) szükséges. https: //math. temple. edu/~conrad/cgi-bin/Power. Index. py Fidesz 0, 733, MSZP és Jobbik 0, 088, KDNP 0, 066, LMP, DK és Együtt 0, 005, PM, MLP és a független képviselők 0, 002.

12

12

16 Példák – számítsuk ki a tagok szavazási hatalmát!

17 Példák 6. példa Az ENSZ Biztonsági Tanácsa: 5 nagyhatalom (USA, RUS, GBP, CHI, FRA) és 10 kis állam. A döntésekhez 9 szavazat, köztük az öt nagyhatalom igen szavazata szükséges (a tartózkodást tekinthetjük nemleges szavazatnak). (nagyhatalmak 421/2145 ≈ 0, 196, kis államok 4/2145 ≈ 0, 0019) Feladat Hogy lehetne a vétójogot szavazatszámmá alakítani úgy, hogy a hatalom-kalkulátor használható legyen? A nagyhatalmaknak legyen s szavazatuk, a kis államoknak legyen 1 szavazatuk, a döntésekhez t szavazat szükséges. s = ? , t = ? 4 s + 10 < 5 s + 4, azaz 6 < s Innen minden nagyhatalomnak s = 7, minden kis államnak 1 szavazata legyen, a döntésekhez pedig t = 5 s + 4 = 39 szavazat szükséges. A hatalomkalkulátor így már kiadja az előbb kiszámított eredményeket!

18 Koalíciókötés 1. példa Egy hat emberből álló közösség minden tagja egyszer szavazhat. A döntésekhez egyszerű többség szükséges (a tagok hatalma így 1/6 ≈ 0, 167). Ketten elhatározzák, hogy „koalíciót kötnek”: mindig egyformán szavaznak. Változik-e ezáltal a hatalmuk? Csak azokat a permutációkat vizsgáljuk, amelyekben a két tag egymás után áll. Vagy: vizsgáljuk azt a közösséget, ahol négy tagnak 1 -1, az ötödiknek 2 szavazata van. (a koalíciót kötők együttes hatalma 0, 4, a többieké 0, 15)

19 Koalíciókötés 4. példa A magyar Országgyűlés képviselőinek száma (összesen 199): Fidesz 114, MSZP 29, Jobbik 24, KDNP 17, LMP 5, DK 4, Együtt 2, PM 1, MLP 1, független 2. A döntésekhez kétharmados többség (133 szavazat) szükséges. (Fidesz 0, 733, MSZP és Jobbik 0, 088, KDNP 0, 066, LMP, DK és Együtt 0, 005, PM, MLP és függetlenek 0, 002) A Fidesz és a KDNP koalíciót köt: mindig egyformán szavaznak. Fidesz-KDNP 131, MSZP 29, Jobbik 24, LMP 5, DK 4, Együtt 2, PM 1, MLP 1, függ. 2. Ez még az a bonyolultság, ami papíron megoldható. Persze így gyorsabb: https: //math. temple. edu/~conrad/cgi-bin/Power. Index. py (Fidesz-KDNP 77/90 ≈ 0, 856 > 0, 733 + 0, 066, MSZP, Jobbik, LMP, DK és Együtt 1/45 ≈ 0, 022, PM, MLP és függetlenek 1/120 ≈ 0, 008) Kérdés Hogyan változna a helyzet, ha a) a Jobbik kivételével a többi ellenzéki képviselő is koalíciót kötne? Fidesz 2/3, baloldali ellenzék 1/6, Jobbik 1/6 b) az összes ellenzéki képviselő koalíciót kötne? Fidesz 1/2, ellenzék 1/2

20 Koalíciókötés 5. példa Európai Parlament: Néppárt (EPP) 217 (12 magyar), Szocialista Párt (PES) 189 (4 magyar), Konzervatívok és Reformerek (ECR) 74, Liberálisok és Demokraták (ALDE) 68, Egyesült Baloldal (GUE) 52, Zöldek 51 (2 magyar), Farage 42, Le Pen 40, függetlenek 18 (3 magyar) (összesen 751). A döntésekhez egyszerű többség (376 szavazat) szükséges. (EPP 0, 325, PES 0, 244, ECR 0, 100, ALDE 0, 095, GUE és Zöldek 0, 060, Farage 0, 053, Le Pen 0, 052, függetlenek 0, 001) Kérdés Hogyan változna a helyzet, ha a) az EPP-PES koalíciót kötne? EPP-PES 1, a többiek 0 b) a Fidesz távozna az EPP-ből, és képviselői függetlenek lennének? EPP 0, 309, PES 0, 254, ECR 0, 103, ALDE 0, 088… c) a Fidesz távozna az EPP-ből, és képviselői az ECR-hez csatlakoznának? EPP 0, 301, EPS 0, 264, ECR 0, 121, ALDE 0, 073…

21 Koalíciókötés

22 Szavazási hatalom – egy másik megközelítés (Penrose-)Banzhaf-index Soroljuk fel az összes nyerő koalíciót. Egy adott nyerő koalícióban kritikus szavazónak nevezzük azokat a tagokat, akik ha megváltoztatnák a szavazatukat, a javaslat elbukna. Egy közösség adott tagjának szavazási hatalmát úgy mérhetjük, hogy az általa leadott kritikus szavazatok számát elosztjuk az összes kritikus szavazat számával. Egyszerűbb esetekben ugyanazt az értéket adja, mint a Shapley-Shubik index, kicsit összetettebb esetekben némileg eltérhet.

23 Szavazási hatalom – egy másik megközelítés Példa Egy négytagú testületben A-nak 3, B-nek 2, C-nek és D-nek 1 -1 szavazata van. A döntésekhez 5 szavazat szükséges. Határozzuk meg az egyes tagok hatalmát! Megoldás Nyerő koalíciók: AB ABC ABD ACD ABCD A hatalma 5/10 = 0, 5 (0, 583); B hatalma 3/10 = 0, 3 (0, 25); C és D hatalma 1/10 = 0, 1 (0, 083).

Köszönöm a figyelmet! klevente 1@gmail. com