Points de rfrence en dcision multicritre J F

Points de référence en décision multicritère J. F. R. O. Antoine ROLLAND LIP 6 15 décembre 2006

Présentation n Un contexte : la décision multicritère, l’agrégation de préférences n Une problématique: la présence d’un point de référence dans les procédures d’agrégation ordinale n Deux résultat : règles de décision basées sur l’utilisation de plusieurs points de référence AR/ JFRO 15/12/06 2

Décision multicritère Agrégation de préférences n Soit un espace X d’alternatives n Chaque alternative est décrite par n critères: n Il existe n préordres Objectif : l’agrégation des préférences sur les espaces des critères Obtention la relation de préférence globale (sur les alternatives) par agrégation des relations de préférence partielles (sur les critères). AR/ JFRO 15/12/06 3

Approches Deux approches possibles en multicritère: n n « agréger puis comparer » « comparer puis agréger » AR/ JFRO 15/12/06 4

Approches n « agréger puis comparer » (e. g. Keeney Raifa 76) • Avantage: simplicité opératoire (obtention d’un ordre complet sur les alternatives) • Inconvénient : nécessite beaucoup d’information (utilités cardinales, taux de substitutions des critères…) n « comparer puis agréger » (e. g. Roy 68 etc) • Avantage: adapté si l’information sur les critères est imprécise, incomplète, ordinale • Inconvénient: difficulté de l’agrégation ordinale (Théorème d’Arrow), intransitivité… AR/ JFRO 15/12/06 5

Limites descriptives ( Dubois et al 03) : certaines préférence ne peuvent être décrites à l’aide de règles ordinale Limites prescriptives (théorème d’Arrow 51) La contrepartie en décision multicritère du théorème d’Arrow implique d’avoir un critère dictateur pour avoir des préférences transitives AR/ JFRO 15/12/06 6

Règle de concordance : exemple Règle de concordance généralisée : Avec Et une relation d’importance sur les coalitions de critères 1 a b c 2 3 4 n a n b n c C(a, b)={1, 2} C(b, a)={3, 4} b {1, 2} C(b, c)={1, 4} C(c, b)={2, 3} c {1, 4} C(a, c)={1} C(c, a)={2, 3, 4} a {2, 3, 4} AR/ JFRO 15/12/06 {3, 4} {2, 3} {1} 7

Règles de concordance : limites Supposons que les préférences du décideur soient : 1 a b c d 2 3 4 C(a, b)={1, 2, 4} C(b, a)={1, 2, 3} a b {1, 2, 4} n C(c, d)={1, 2, 4} C(d, c)={1, 2, 3} d c {1, 2, 3} n {1, 2, 3} {1, 2, 4} Les préférences variant avec la valeur sur un critère ne sont pas représentables par une règle de concordance AR/ JFRO 15/12/06 8

Points de référence Il s’agit de proposer des procédures où les alternatives sont comparées par l’intermédiaire d’un point tiers spécifique (point de référence) L’introduction de points de référence a été établie en psychologie et sociologie (Tversky Kahneman 91), en théorie du choix social (Campbell Kelly 00), en tri multicritère (Roy Yu 92) Objectif : obtenir une procédure d’agrégation • non dictatoriale, unanime, universelle • induisant des préférences transitives • respectant l’indépendance vis-à-vis des alternatives tierces AR/ JFRO 15/12/06 9

Règle de décision avec points de référence En notant La relation de préférence suit le modèle basé sur l’utilisation de points de référence si il existe une relation : n n Cela est vrai si l’axiome d’indépendance conditionnelle (ICP) suivant est vérifié : AR/ JFRO 15/12/06 10

Problématique Il y a déplacement de la problématique : - Les alternatives sont décrites par les ensembles X 1, …, Xm. - les deux approches CA et AC sont possibles à partir des ensembles X 1, …, Xm AR/ JFRO 15/12/06 11

Exemple Règle de concordance avec points de référence : Avec Et une relation d’importance sur les coalitions de critères Ap={1, 4} Bp={1, 3} a b {1, 4} {1, 3} n Cp={2, 4} Dp={2, 3} d c {2, 3} {2, 4} Ces préférences sont représentables avec un point de référence n 1 2 3 4 a b c d p AR/ JFRO 15/12/06 12

Règle de concordance avec points de référence

Points de référence: Approche CA x=(x 1, x 2, …, xn) x y y=(y 1, y 2, …, yn) x ………… x y y AR/ JFRO 15/12/06 14

Axiomes (1) Axiome SEP : Séparabilité par rapport aux points de référence : Si la relation de préférence vérifie SEP, on peut déduire des relations de préférence par rapport aux points de référence AR/ JFRO 15/12/06 15

Axiomes (2) Axiome ICRI : indépendance conditionnelle sur les relations induites Théorème : si la relation de préférence vérifie SEP et ICRI, alors il existe une relation de préférence sur les sous-ensemble de P telle que : AR/ JFRO 15/12/06 16

Lexicographie AR/ JFRO 15/12/06 17

Lexicographie : exemple 1 2 3 4 a b c p 1 p 2 AR/ JFRO 15/12/06 18

M-capacités avec points de référence

Points de référence : approche AC x=(x 1, x 2, …, xn) y=(y 1, y 2, …, yn) …Xi=C(x, pi)… … Yi =C(y, pi)… F(X 1, X 2, …, Xn) F(Y 1, Y 2, …, Yn) x y AR/ JFRO 15/12/06 20

M-capacité (1) Définition : Soit : On dit que est une m-capacité si : 1) 2) AR/ JFRO 15/12/06 21

M-capacité (2) Soient p 1, …, pm les points de référence tels que pkj<j pk+1 j pour tout critère j On pose Xi={j N| xj pij} On pose Xi*= Xi-1 pour i>1 et X 1*= X 1 Théorème Si est un préordre vérifiant ICP et l’unanimité faible, il existe une m-capacité telle que : AR/ JFRO 15/12/06 22

M-capacité : exemple 1 a 2 3 4 p 3 p 2 b c d p 1 Pour a : A 1={1, 3, 4} A 2={1, 4} A 3={1} A 1*={3} A 2*={4} A 3*={1} Pour b : B 1={1, 3, 4}, B 2={1, 3} B 3={1} B 1*={4} B 2*={3} B 3*={1} Pour c : C 1={1, 3, 4} C 2={3} C 3= C 1*={1, 4} C 2*={3} C 3*= Pour d : D 1={1, 3, 4}, D 2={4} D 3= D 1*={1, 4} D 2*={4} D 3*= a b v({1}, {4}, {2})>v({1}, {3}, {2}) c d v( , {3}, {2})>v( , {4}, {2}) AR/ JFRO 15/12/06 23

Conclusion L’introduction de points de référence dans les modèles d’agrégation ordinale n permet de proposer de nouvelles règles de décision ordinales permettant d’obtenir des relations de préférence transitives et non dictatoriales n Offre une interprétation des k-capacités en terme de niveaux de référence. AR/ JFRO 15/12/06 24