PLANOS Y SUPERFICIES U D 12 Angel Prieto

PLANOS Y SUPERFICIES U. D. 12 * @ Angel Prieto Benito 2º BCT Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 1

FORMA POLAR Y PARAMÉTRICA DE CURVA U. D. 12. 1 @ Angel Prieto Benito * 2º BCT Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 2

COORDENADAS POLARES • • • • Las coordenadas polares de un punto P del plano es un par (r , φ), donde r es el módulo del vector OP y φ el ángulo que forma el vector con el eje OX. El número r recibe el nombre de radio y siempre es positivo, r ≥ 0. El ángulo φ es el argumento del punto P y vale: 0º ≤ φ ≤ 360º El punto P en coordenadas cartesianas es: P=(a , b) El vector OP se expresa: Y P = (x , y) OP = a. i + b. j En coordenadas polares: P = rφ Donde: r y r = |OP| = √(x 2+y 2) φ = arctan (y/x) φ En coordenadas cartesianas: O x X x = r. cos φ ; y = r. sen φ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 3

Ejercicios paso a polares • • • Sea el punto P(4 , 4√ 3). Expresarlo en forma polar. Solución Calculamos el argumento: φ = arctg 4√ 3/4 = 60º Calculamos el módulo: r = |OP| =√ [(4)2+(4√ 3)2] = √ 64 = 8 En forma polar: OP=860º • • • Sea el punto P(4 , – 3). Expresarlo en forma polar. Solución Calculamos el argumento: φ = arctg (– ¾) = – 36, 87º = 323, 13º Calculamos el módulo: r = |OP| =√ [(4)2+(– 3)2] = √ 25 = 5 En forma polar: OP=5323, 13º • • • Sea el punto P(– √ 3 , 3). Expresarlo en forma polar. Solución Calculamos el argumento: φ = arctg (– 3/ √ 3) = 240º Calculamos el módulo: r = |OP| =√ [(-√ 3)2+32] = √ 12 = 2. √ 3 En forma polar: OP=2. √ 3240º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 4

Ejercicios paso a cartesianas • • • Sea el punto P = 830º. Expresarlo en forma cartesiana. Solución x = r. cos φ = 8. cos 30º = 8. 0, 866 = 6, 9280 y = r. sen φ = 8. sen 30º = 8. 0, 5 = 4 P (6’ 9280 , 4) • • • Sea el punto P = 1150º. Expresarlo en forma cartesiana. Solución x = r. cos φ = 1. cos 150º = 1. (- 0, 866) = – 0, 866 y = r. sen φ = 1. sen 150º = 1. 0, 5 = 0, 5 P (– 0’ 866 , 0’ 5) • • • Sea el punto P = 5270º. Expresarlo en forma cartesiana. Solución x = r. cos φ = 5. cos 270º = 5. 0 = 0 y = r. sen φ = 5. sen 270º = 5. (– 1) = – 1 P (0 , – 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 5

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES • ESPIRAL DE ARQUÍMEDES • Es la curva que se obtiene al hacer que un punto P(r, φ) recorra con movimiento uniforme el radio vector, cuando éste gira de forma que, en tiempos iguales recorra ángulos iguales. • Su ecuación en coordenadas polares es: r = k. φ • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 6

LA CICLOIDE • CICLOIDE • La cicloide es la curva descrita por un punto fijo P de una circunferencia de radio r que gira sin deslizarse sobre una recta fija. La distancia en horizontal que recorre el punto P será la longitud de la circunferencia, 2. π. r, en cada giro completo de ésta. La altura máxima en vertical que puede alcanzar el punto es el diámetro de la circunferencia, 2. r. • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 7

Ecuaciones paramétricas • • Después de girar P(x, y) un ángulo t: =M = arco MP = r. t Por tanto: x = OM – MP’ = r. t – r. sen t = r. (t – sen t) y = CM – CP’’ = r. t – r. cos t = r. (1 – cos t) Resultando las ecuaciones paramétricas de la cicloide: x = r. (t – sen t) y = r. (1 – cos t) NOTA: El parámetro t en radianes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 8

CURVAS EN EL ESPACIO • • Se llama curva del espacio al conjunto de puntos P(f(t), g(t), h(t)) que se obtienen dando todos los valores posibles a t, siendo f(t), g(t) y h(t) funciones continuas. Las funciones: x = f(t) y = g(t) z = h(t) reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la curva, donde t es el parámetro. • • En el caso particular de que f(x), g(t) y h(t) sean funciones de la forma a + b. t , P(f(t), g(t), h(t)) representa una recta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 9

Ejemplo • • Sea la recta que pasa por el punto A(1 , 1, 3) y su vector director es el vector u=(– 1, 1, 1). Hallar su ecuación paramétrica y define las funciones f(t), g(t) y h(t) que identifican dicha recta como una curva en el espacio. • • • Solución (x, y, z) = (1, 1, 3) + t. (– 1, 1, 1) es su ecuación vectorial. Las funciones que la definen como una curva en el espacio son: En paramétricas: • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. f(t) = 1 – t g(t) = 1 + t h(t) = 3 + t 10