PLANOS Y SUPERFICIES U D 12 Angel Prieto

PLANOS Y SUPERFICIES U. D. 12 * @ Angel Prieto Benito 2º BCT Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 1

SUPERFICIES CUÁDRICAS U. D. 12. 5 @ Angel Prieto Benito * 2º BCT Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 2

Cuádricas • • • Una cuádrica del espacio tridimensional real es una superficie determinada por una ecuación de la forma: P(x , y , z) = 0, donde P es un polinomio de segundo grado. El sistema de coordenadas (x , y , z) es ortogonal y unitario. Son muy utilizadas en los campos del arte, la industria o la arquitectura. • • SUPERFICIES CUÁDRIGAS Algunas superficies cuádricas son: Cilindro, Cilindro elíptico, Cilindro hiperbólico, Cilindro parabólico Cono. Esfera Elipsoide Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas Paraboloide elíptico, Paraboloide hiperbólico. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 3

ELIPSOIDE • • Tiene tres ejes de longitudes, 2. a en eje OX, 2. b en eje OY y 2. c en eje OZ. Cualquier plano secante al elipsoide paralelo a los planos de coordenadas origina elipses. Si a = b = c, el elipsoide se convierte en una esfera. Una esfera es pues una particularidad del elipsoide. Su ecuación canónica es: x 2 y 2 z 2 --- + --- = 1 a 2 b 2 c 2 @ Angel Prieto Benito Z Y X Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 4

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA • • • Cualquier plano secante al elipsoide paralelo al plano de coordenadas XOY produce elipses en su intersección. Cualquier plano secante al elipsoide perteneciente al haz de planos de arista el eje OZ son hipérbolas. Su ecuación canónica es: x 2 y 2 z 2 --- + --- – --- = 1 a 2 b 2 c 2 Z Y X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 5

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS • • Cualquier plano secante al elipsoide paralelo al plano de coordenadas XOY produce elipses en su intersección. Cualquier plano secante al elipsoide perteneciente al haz de planos de arista el eje OZ son hipérbolas. No corta al plano XOY. Su ecuación canónica es: x 2 y 2 z 2 --- + --- – --- = – 1 a 2 b 2 c 2 @ Angel Prieto Benito Z Y X Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 6

PARABOLOIDE ELÍPTICO • • Cualquier plano secante al elipsoide paralelo al plano de coordenadas XOY produce elipses en su intersección. Cualquier plano secante al elipsoide perteneciente al haz de planos de arista el eje OZ son parábolas. Su ecuación canónica es: x 2 y 2 --- + --- – 2. c. z = 0 a 2 b 2 Sólo tiene validez para z >= 0 @ Angel Prieto Benito Z Y X Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 7

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO • • Su intersección con el plano z=k, siendo k>0, es una hipérbola de eje paralelo al eje OY. Su intersección con el plano z=k, siendo k<0, es una hipérbola de eje paralelo al eje OX. Su intersección con el plano x=0 o con el plano y=0 es una parábola. z = 0 es tangente a la superficie. • • Su ecuación canónica es: x 2 y 2 --- – 2. c. z = 0 a 2 b 2 • • @ Angel Prieto Benito Z Y X Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 8

CILINDRO ELÍPTICO • • Su base es una elipse de ejes 2. a y 2. b. Su intersección con un plano paralelo al plano XOY determina una elipse. • • Su ecuación canónica es: x 2 y 2 --- + --- = 1 a 2 b 2 Z Y a b X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 9

CILINDRO HIPERBÓLICO • • Su base es una hipérbola, de ejes 2. a y 2. b. Su intersección con un plano paralelo al plano XOY determina hipérbolas. • • Su ecuación canónica es: x 2 y 2 --- – --- = 1 a 2 b 2 Z Y X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 10

CILINDRO PARABÓLICO • Su base es una parábola. • Su intersección con un plano paralelo al plano XOY determina parábolas. • • Su ecuación canónica es: x 2 – 2. c. y = 0 Z Y X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T. 11